纳米电子学-纳米电子器件输运理论.doc

第第 7 章章 纳米电子器件输运理论纳米电子器件输运理论7.1 引言引言7.2 隧穿理论隧穿理论7.2.1 隧穿的波函数描述方法 7.2.2 隧穿时间7.2.3 隧穿电流7.2.4 量子化电荷隧穿7.1 引言引言电子器件的性能决定于其中电子的输运特性，而电子输运特性与材料的能带结构密切相关在一个特定的能带结构中，载流子运动可能包括多种复杂的物理过程为了计算器件的 IV 特性，需要建立器件的输运模型模型应当包括两个方面信息1)特定器件材料的能带结构与参数特定器件材料的能带结构与参数能带结构决定于组成器件的特定材料以及特定的材料界面和结构例如，在异质界面处，能带会产生偏移和变化(如弯曲)载流子的输运模型需要尽量精确的载流子有效质量等由能带结构所决定的材料参数2)适当形式的输运理论适当形式的输运理论该理论必须能够模拟器件的主要输运过程在模型中总是要进行简化、近似和数值离散化，但是，这些处理不能违反基本的物理规律和量子力学原理可是，在实际上，有些简化和近似常常危及某一原理按照第一性原理的观点，纳米器件一般来说是一个开放量子系统，在其中电子起码可以在某一维方向运动而且是与时间相关的同时，输运具有时间不可逆性和耗散性。

输运过程中还存在多体作用器件与周围的环境既存在粒子交换也存在能量交换所以电子器件作为一个物理系统与简单的孤立量子系统有很大的区别，后者可以具有守恒的哈密顿量，对薛定谔方程加上适当的边界条件，相对较容易求解而适用于这种开放器件系统的易子计算的通用多体形式的量子理论尚没有建立起来对于特定器件的某些性质的计算可以不用通用的多体理论实际应用中广泛采用各种近似和简化的模型口针对主要输运过程的模型，可以使计算简化最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模拟工作已取得明显进展，模拟结果在估计 RTD 的量子效应方面和应用于器件设计方面均获得丰硕的成果〕 量子器件的全面模拟问题需要用高级的量子输运理论，可能包括相当复杂的多带有效质量理论的形式，它应该是建立在密度矩阵基础上的量子统计理论本书仅在量子输运的简化概念性框架下，给出各种简单纳米结构量子输运描述方法这样的理论框架可以解释大多数纳米结构巾的介观输运现象如共振隧穿，单电子现象但是，这些现象的一些细微特征，如，普适电导涨落电导峰幅值和间距则需要更高级的动力学理沦，如非平衡格林函数方法予以计算人们已发展了各种不同层次的量子器件输运模型并已取得一定的成功。

建立精确的量子器件模型源于一个基本的动机—探索介观输运规律并对器件优化设计提供指导这一点对于构思新型器件和促使实用器件的发展是必不可少的另外，与纳米制造技术相比，量子输运的理论模拟相对滞后二量子器件的模拟尚没有达到像传统的 MOS 场效应管和双极晶体管那样的模拟能力在这个意义上，在推进纳米电子学进步的时候，量子器件模型可以作为输运理论模拟能力的检验媒介另一方面，纳米器件的量于输运问题，由于器件具有复杂的材料和结构，其模拟对计算机模拟工具依赖性很强所以在研究理论模型的同时，还需要加强计算机模型和数值求解方法以及相应软件的研究7.2.1 隧穿的波函数描述方法隧穿的波函数描述方法在波动力学中，概率密度定义为    ,,,r tr tr t rrrψ 是与时间相关的薛定谔方程的解从薛定谔方程出发可以得到概率密度的连续性方程      ,-,,,,2er t r tr tr tr ttm i r rrrrhg概率流密度，或者“流”可以写做     ,,,,2eJr tr tr tr tm iu rrrrrh1.单矩形对称势垒单矩形对称势垒如图 7. 1 所示，包含一个宽度为 W=2a 的，嵌人 GaAs 中的一层 AlxGa1-xAs，平面型势 垒结构。

只要能带的非抛物线效应可以忽略，就可以采用单一能带有效质量模型系统的波函数， 且可以分为相对于势垒的平行部分和垂直部分所需要求解的包络函数方程为    22 21,z,z22reffVzrErz mzzm Prrhh图 7.1 单矩形隧穿势垒 其中，z（垂直于势垒）方向的定态方程为    21zz2effVzEz mzzh对于图 7. 1 所示结构.在每个区域可以写出分片连续的解 ---,,,ikzikzzzikzikzAeBezazCeDeazaGeFeza    式中22,m VEm Ekhh由波函数的标准条件，可得到 121211aaaazzmm式中包括了势垒两边的有效质量，如果进一步假设两边材料的有效质量相等，在 x=-a 处， 应用边界条件，可以得到------==ikaikaaaikaikaaaAeBeCeDeik AeBeCeDe解出系数之间的关系2222ikaikaikaikaikikeeACikik BDikikeeikik    在 z=a 处，可以得到aaikaikaaaikaikaCeDeGeFeCeDeik GeFe类似的，可以写成如下矩阵方程2222ikaikaikaikaikikeeCGDFikikee  由式（7.9）和（7.11）可得11122122MMAGMMBF   式中22 1122 222 21222222cosh 2sinh 222222+sinh 22ikaikaikaaaikikikikMeeikikikaaekikikikikMeeikikikak   11212212,MMMM假设在势垒的右边仅有出射波，没有入射波，即假设式(7.12)中，F=0。

势垒左边的入射波 幅为 A，射向势垒的概率流为22 inckJAAmh式中,v 是粒子的群速度对于对称势垒的问题，入射波与幅值 G 相关的出射(或者称透射) 波具有相同的群速度22 trankJGGmh透射系数定义为透射与人射流密度的比率 222 111tranincGJT EJAM由(7.13)式可以得到 1222 22222 2cosh2sinh2211sinh22kT Eaakkak  如果 2ϒa>1 24 0224exp22akT EeWm VEk h反射系数用反射与入射流密度的比定义  22 2 22 221 21222112sinh221sinh22kaBMkR EMT EAMkak  显然，透射和反射系数的和为 1，即，R+T=1 以上讨论的情况是假设粒子的能量小于势垒高度 V0对于能量大于势垒高度，上面的讨论一样成立，只不过 ϒ 是复数令 ϒ=-ik’ ，相应的透射系数为振荡的，式(7.19)成为 022'2 2' '11sin22T EV kkk akk 图 7.2 给出不同势垒高度透射参数随能量变化曲线。

入射粒子能量低于势垒，随着粒子能 量与势垒高度的差增加，透射概率呈指数衰减;入射粒子能量高于势垒，当能量 E 增大时， 透射系数振荡趋于 1，正如（7.23)式所预测的图 7.2 单对称势垒透射系数随能量变化2.非对称单矩形势垒非对称单矩形势垒 非对称势垒可以认为是在势垒的左边与右边之间加上了电压 q-1V1(V1是静电能)的系统 的一个粗略的近似(当然，加了电压以后，势垒高度 V0将降低，为简单忽略掉这一效应) 波函数稍微复杂一些，为 11---,,,ikzikzzzik zik zAeBezazCeDeazaGeFeza    入射粒子能量为 E，而 1 12mEVkh由波函数边界连续条件可得1111 1ik aik aaaik aik aaaCeDeGeFeCeDeikGeFe同样假设势垒两边粒子有相同的有效质量再一次构成连接矩阵，相应界面矩阵级联结果 形成整个势垒的组合矩阵11111 112 11222211cosh 2sinh 222ik ikaik ikai k k aikikikikMeeikikkkkiaaekk 1112211 212 1122221sinh 21 cosh 222a i k k aa i k k ai k k aikikikikMeeikikkkkiaaekk  11212212,MMMM复共扼关系式仍然正确，矩阵的行列式不再是 1，而是比值 k1/k0。

左到右的透射和反射系数分别由入射流与透射流之比，入射流与反射流之比得到，比对称 势垒稍微复杂一些是由于两个区域粒子的群速度不同 22 2111reflincJBMR EJAM   1 22 111 222222 1112 22 1411sinh2traninck kkkGJT EJAMkka kk  如果考虑在同样势垒的情况下，相反方向的透射系数，设 A=0 并求从右到左的透射流与入射流的比率 22 1rlk BTE k F能够从(7.12)式的两个方程令 A=0 解出 B 作为 F 的函数，得到  22 11122112 2211 111122 112 2 111(E)lrrllrlrlrMMM MBMFFMRFMMk Bk MTET TETkk F透射系数与入射波的入射方向无关！ 3.散射矩阵散射矩阵 用势垒两边出射波系数 B 和 G，与入射波系数 A 和 F 之间的关系定义不同的矩阵，而得到11122122SSBASSGF式中，S 称为散射矩阵或 S 矩阵。

透射和反射系数也可以令 F=0，而用 S 矩阵表示出来 如果考虑来自右边而不是来自左边的人射波，令 A=0，透射和反射系数为21 212 11TSRS 它等于从左边到右边的透射系数 很明显，S 矩阵是势散射问题自然的表示，因为对角元与反射系数直接相关，而非对角元 与透射系数有关 4.双矩形势垒双矩形势垒假设在图 7.4 所示的对称双势垒结构中，连接 A、B 与 G、F， A’ 、B’与 G’ 、F’ 的传输矩阵可以由单势垒的结果得到因为这里的系数相。