高等代数6若当标准形的理论推导.ppt

§6 若当标准形的理论推导,定义,形式为,的矩阵称为若当（Jordan）块，其中,为复数.,由若干个若当块组成的准对角形矩阵称为若当,形矩阵.,若当形矩阵的一般形式,其中,中有一些可以相等.,若当块的初等因子,若当块,的全部初等因子是,事实上，考虑它的特征矩阵,显然,这就是,的n级行列式,因子.,由于,有一个n－1级子式为,,所以它的n－1级行列式因子是1.,从而它以下各级的行列式因子全是1.,因此，它,的不变因子为,由此即得，,的初等因子是,若当形矩阵的初等因子,设,是一个若当形矩阵，其中,Ji的初等因子为,最后的推论可知J的全部初等因子为,故由上节,这就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子就是由,它的全部若当块的初等因子构成的.,由于每个若当块完全被它的级数n与主对角线上,上的元素,所刻画，而这两个数都反映在它的初等,因子,中.,因此，若当块被它的初等因子唯,一决定.,由此可见，若当形矩阵除去其中若当块排,列的次序外被它的初等因子唯一决定.,每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，,且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是,被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.,定理10,证明：由上述分析易知.,求复矩阵A的若当标准形的步骤,1. 求出A的全部初等因子：,其中,可能有相同的，指数,也可能,有相同的.,2. 每一个初等因子,对应于一个若当块,3. 这些若当块构成一个若当形矩阵,J 即为A的若当标准形.,（这是因为J与A有相同的初等因子）,除了若当块的排列顺序外，J是唯一的.,例1 若复矩阵A的全部初等因子为,则A的若当标准形为,,,,,,,,,,例2 求矩阵,的若当标准形.,解：首先求,的初等因子,,,,,因此，A的初等因子为,A的若当标准形为,定理10的线性变换语言,定理11,设A是复数域上n为线性空间V的线性变换，在V,中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若当形,矩阵，且该若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是被A唯一决定的.,注 若当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，即,由一级若当块构成的若当形矩阵.,由此不难得到：,定理12,复数域矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是,A的初等因子全为一次的.,注 由若当标准形的作法，可以看出矩阵A的最小,多项式就是A的最后一个不变因子dn(x).,由此不难得到：,定理13,复数域矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是,A的不变因子都没有重根.,最后指出，如果规定上三角矩阵,为若当块，应用完全类似的方法可以证明相应的定理,10，定理11的结论也成立.,。