高等数学第四章 中值定理与导数的应用.ppt

第四章中值定理与导数的应用,§4.1 中值定理,§4.2 罗必塔法则,§4.3 函数的单调性,§4.4 函数的极值,§4.5 函数的最大值与最小值 极值的应用问题,§4.6 曲线的凹凸性与拐点,§4.7 函数作图,§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用 （边际分析与弹性分析简介）,第四章,§4.1 中值定理,(一) 罗尔( Rolle )定理,(二) 拉格朗日中值定理,(三) 柯西(Cauchy)中值定理,,,费马(fermat)引理,(一) 罗尔( Rolle )定理,且,存在,,证: 设,则,,,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 [a , b] 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,,证:,故在[ a , b ]上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,,则由费马引理得,例1 验证函数 在 上罗尔定理,成立。

解：,显然， 满足罗尔定理的三个条件.,使,罗尔定理的结论成立例2 不求导数，判断函数,解：,使,的导数有几个实根，以及其范围使,二、拉格朗日中值定理,,(1) 在区间 [ a , b ] 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,,,,,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,,在 [ a , b ] 上连续 ,,在 ( a , b ) 内可导,,且,,,证:,问题转化为证,,,,,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,拉格朗日中值定理结论可以改写为:,,所以，拉格朗日中值定理结论还可以改写为:,推论1:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,,在 I 上为常数 .,推论2:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 令,则,在区间 I 上，,由推论1,知,在区间 I 上，,为常数.,故,在 I 上必为常数.,例3. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例4. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,,即,因为,故,因此应有,例5. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,,即,因为,故,因此应有,例6. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,,及,(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,证略,,柯西定理的几何意义:,注意:,,,,,,,,,,弦的斜率,,切线斜率,,例7. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 [0, 1] 上满足柯西中值,定理条件,,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点  ,,使,,,即,证明,小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,,,,第四章,§4.2 罗必塔法则,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),,本节研究:,洛必达法则,(一),存在 (或为 ),,定理 1.,型未定式,(洛必达法则),证明略,推论1.,定理 1 中,换为,之一,,推论 2.,若,理1条件,,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,,例2. 求,解:,原式,,例3. 求,解:,原式,,例4. 求,解:,原式,,例5. 求,解:,原式,,例6. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,离散变量 连续化,(二),型未定式,存在 (或为∞),,定理 2.,证略,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,例7. 求,解:,原式,例8. 求,解:,原式,例9. 求,解:,原式,例10. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,例10. 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,,说明:,1) 例9 , 例10 表明,时,,后者比前者趋于,更快 .,2) 若,例如,,极限不存在,例11,极限不存在,(三) 其他未定式:,解决方法:,通分,,,,取倒数,,,取对数,例12. 求,解: 原式,,解: 原式,例13. 求,,通分,,,,取倒数,,,取对数,,例14. 求,解:,利用 例12,,,通分,,,,取倒数,,,取对数,,例15. 求,解: 原式,解: 原式,例16. 求,例17. 求,解:,例18. 求,解:,例19. 求,解:,注意到,～,原式,例20. 求,解:,注意到,～,原式,例21. 求,解:,令,则,原式,例22. 求,解:,注意到，,～,原式,～,小结,洛必达法则,,,,第四章,§4.3 函数的单调性,函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,,,,,,,故,的单调增区间为,的单调减区间为,,,,,,,,,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,,例2. 证明当,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此，,且,第四章,§4.4 函数的极值,定义:,在其中当,时,,(1),则称 为 的极大点 ,,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 (上节例1),为极大点 ,,是极大值,是极小值,为极小点 ,,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,,(自证),点击图中任意处动画播放\暂停,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,时,,而,3) 列表判别,,,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,,,,例2. 求函数,的单调区间和极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,3) 列表判别,,,,,,,,,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,,,证: (1),存在,,,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,例3. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,,,故 为极大值 ;,例4. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,,,第四章,§4.5 函数的最大值与最小值 极值的应用问题,（一）最大值与最小值问题,则其最值必存在。

其最值只能,在极值点或端点处达到 .,,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,驻点,不可导点,求闭区间上连续函数最值的方法:,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,,当 在 上单调时,,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),例1. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,,例2. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 ;,例3 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一个,大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖,的方盒，问截掉的小正方形的多大时，所得方盒的,解：,容积最大？,设小正方形的边长为x, 则,盒底边长为a－2x,,方盒的容积V为：,令,解得:,列表判别,,,,,是极大点，,其极大值为,这个极大值,就是函数V的最小值.,答: 当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁皮,边长的六分之一时，所做成的方盒容积最大。

一般地，区间内唯一的极大值点，必定是最大值点唯一的极小值点，必定是最小值点例4 要用铁皮做一个容积为,的圆柱形牛奶筒，,问怎样设计才能使用料最省？,解：,设圆柱形奶筒的表面积之和为,底圆半径为,高为,则,与,之间的函数关系圆面积+侧面积,由,得:,令,解得:,唯一,因为，,故,为极小值点，,也是最小值点.,答: 底圆直径与高相等,时用料最省此时,( k 为某一常数 ),,,例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC⊥ AB ,,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,,从而为最小点 ,,问,Km ,,公路,,第四章,§4.6 曲线的凹凸性与拐点,,,,,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,,(1) 若恒有,则称,图形是上凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上凹与下凹的分界点称为拐点 .,图形是下凹的 .,,,,注意 . 设函数,在区间 I 上连续 ,,(1) 上凹函数,切线的上方;,(2) 下凹函数,,的曲线弧位于其上任意一点的,的曲线弧位于其上任意一点的,切线的下方;,,,定理.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是上凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是下凹的 .,,,设函数,在区间I 上有二阶导数,事实上，,(1) 在 I 内,则 在 I 内单调增加 ;,切线斜率 由小变大。

意一点的切线的上方;,的曲线弧位于其上任,,,,,,,(2) 同样讨论例1. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,,例2. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,,向下凹,,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,例3. 求曲线,的凹向与拐点.,。