小学数学概念的教学案例分析与研究2011.ppt

小学数学概念教学案例分析与研究 教育科学学院刘娟娟Email:1小学数学有效教学应基于以下四点：l1、对数学知识的正确理解（数学）l2、对小学生学习的准确把握（心理学）l3、对教学方法的合理选择（教学论）l4、科学的评价体系（教育学）2本讲研究的主要问题l一、如何正确地理解数学概念l二、如何准确地把握学生概念学习的规律l三、如何提高数学概念教学效率3一、如何正确地理解数学概念l多角度：逻辑学、数学史、教育心理学等l多层面：基本概念、核心概念、发展概念l整体的数学概念框架应该是设计数学概念教学的一个基本原则分数内涵外延有理数真分数假分数单位分数带分数有限小数循环小数4（一）从逻辑学的角度看l依逻辑而论，数学概念一般都有其内涵与外延之限定l内涵概念所反映的所有对象的共同的本质属性的总和l数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映l外延概念所反映的所有对象的全体5小学数学概念的表现形式l（1）用图画的形式揭示概念内涵和外延苏教版小学数学课本二年级下册：认识角人教版小学数学课本二年级上册：认识角6（2）用文字描述的方法借助具体事例说明概念l小数l负数三年级上册五年级上册7（3）用逐步渗透的方法来揭示概念l例如：分数三上三下五下8（4）用定义的形式来揭示概念的本质属性l定义是用文字揭示概念内涵（本质属性）的逻辑方法。

l通过给概念下定义，可以揭示概念所反映的对象的本质属性，从而明确这一事物和其他事物的区别平行和垂直（四上）9l平行和垂直（四上）10【案例1】从“平行和垂直”说开去l一道错误率极高的试题：l“同一平面内，两条直线的直线的关系有 平行 和 垂直 ”l分析：为什么会发生这样的错误？教材的编排顺序中出现了问题11从“平行和垂直”说开去l如何解释“线段平行”？l“无限延长”如何检验？12从“平行和垂直”说开去l可操作的定义：“两直线若同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行”l或者“两条直线之间总是有相同的距离，这两条直线是平行的1314【案例2】自然数的概念l自然数：在大自然中生产劳动时“自然地”产生的l自然数有两种属性，一是基数属性，二是序数属性l自然数是一切等价的有限集合的标记，成为基数基数表示集合中元素的个数，是计数的数l自然数还能表示某个有序集合中每个元素所占的位置，是记顺序的数15l如自然数的概念除了作为基数和序数外，还应该多角度地理解自然数的特征l自然数作为运算的计数（3个2）l自然数作为度量的结果（3厘米）l自然数作为计算的对象（23=5）l自然数被作为对象区分与标记（号码等）数字与信息160 作为自然数的理由l1993年颁布的中华人民共和国国家标准量和单位，规定自然数包括0.l首先，0与空集对应；l其次，丰富了自然数系的代数结构；l再此，0对于数的扩展来说十分重要；l最后，有利于学生对自然数的理解。

l另外，0的序数意义也符合生活实际17【案例3】方程的概念l小学数学教材中的定义：含有未知数的等式叫方程l函数也是含有未知数的等式s=vt，y=1/x,计算公式S=ab容易和方程混淆；la+b=b+a，也是含有字母的等式，是不是方程？l0 x=0，xx=0, 是不是方程？18方程的核心是要“求”未知数l数学家关肇直：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道未知量与已知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量来这就是解方程的问题l张奠宙：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系19启示或结论l从逻辑学的角度看待数学概念，使我们正确地把握数学概念的内涵和外延，有利于我们更客观地去确立教学目标，更准确地去把握教材，更好地实施教学，培养学生的数学素养l同时，对于小学生而言，概念的内涵和外延要用合适的方式展现给学生，要注重概念的实质，淡化概念的形式20（二）从数学史的角度看l数学本身是个历史概念，其内涵随着时代的变化而变化，想要给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的l公元6世纪之前数学主要是关于“数”的研究l公元6世纪17世纪数学主要是关于“数和形”的研究，其中亚里士多德“数学是量的科学”l17世纪数学主要是关于“数、形、运动和变化”的研究l恩格斯数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。

21l19世纪数学主要是关于“数、形、运动和变化以及数学自身”的研究l20世纪80年代数学是关于“模式”的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性l数学中的许多概念的内涵和外延一般也都是发展变化而不是一成不变的22l对数学概念认识的不断加深，推动着数学本身的发展l第一次数学危机无理数悖论l第二次数学危机无穷小量悖论l第三次数学危机集合悖论23【案例5】分数的概念l分数起源于埃及，单位分数又称为“埃及分数”l分数的定义一般有四种：l1、（份数定义）分数是一个单位平均分之后中的一份或几份（大小）；l2、（商定义）分数是两个整数相除的商；l3、（比定义）分数是q与p之比；l4、（公理化定义）有序的整数对（p,q），其中p不等于024（三）从数学教育心理学的角度看l我国学者李士锜认为数学概念是“过程”和“对象”的统一体，也就是说数学概念既表现为思维的对象（结果），也蕴含着思维的过程l如轴对称，即代表图形关于指定直线的翻折过程，又代表一组图形间所具有的特定性质或位置状态关系l因此，教学中要既要注重概念的表达形式，也要注重概念反映的具体过程 25【案例6】对“平均数”概念的认识l平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。

l平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平l要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平26算术平均数 l1一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动”就能带来平均数的变化”，即敏感性l2一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间l3一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0l4给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数Cl5一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C案例链接27二、如何把握数学概念学习的规律l（一）熟悉数学概念学习的过程l关于概念学习的研究表明：概念学习有两种基本的形式：概念形成 和 概念同化l（二）把握数学概念学习和发展的五个阶段l（三）掌握影响概念学习的重要因素 28（一）数学概念学习的过程l概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程29l概念同化是利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念去学习和掌握概念的方式。

301、概念形成过程（曹才翰，章建跃，2006）l辨别各种刺激模式l分化各种刺激模式的属性，抽象出各个刺激模式的共同属性l在特定情境中检验假设，确认关键属性l概括、形成概念l把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去，这就是更大范围内检验和修正概念定义，又是概念应用的过程l用习惯的形式和符号表示新概念311、辨别各种刺激模式2、分化出共同属性3、在特定情境中检验假设，确认关键属性4、概括、形成概念5、概念应用的过程6、用符号或形式表达32基于概念形成的“平行四边形”教学l（1）出示形状是平行四边形的生活中典型的实例若干，让学生分析、辨认；l（2）虽然实例各不相同，但是它们有共同的属性：四边形，两组对边分别平行且相等；l（3）通过动手操作，亲自做一个平行四边形等活动，体会平行四边形的关键属性；l（4）在观察、比较等自主活动中，概括出平行四边形的特点：四边形，两组对边分别平行，两组对边长度分别相等；l（5）找一找生活中或者学过的图形中还有哪些图形是平行四边形，通过正反例证，进一步明确概念内涵，扩大概念外延；特别是长方形、正方形与平行四边形的关系可以进一步明确，以帮助学生调整认知结构； l（6）介绍平行四边形的一般画法，用习惯的形式来表示平行四边形。

332、概念同化的过程（鲍建生，周超,2009）l辨认、回忆已经学过的概念l对概念进行分类，讨论这个概念所包含的特例，突出本质属性l建立新旧概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构之中，使新概念被赋予一定的意义l强化新概念，通过变式等方式，使新概念更加稳固和清晰341、辨认、回忆已经学过的概念2、对概念进行分类，讨论这个概念所包含的特例，突出本质属性3、建立新旧概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构之中，使新概念被赋予一定的意义4、强化新概念，通过变式等方式，使新概念更加稳固和清晰35（二）概念学习和发展的五个阶段l阶段1：具体期：学生能理解一个先前经验过的例子l阶段2：确认期：学生可以了解之前遇到过的例子，即使这个例子是由不同时空观点或是不同形式来观察的l阶段3：分类期：学生能够分别举出正例和反例l阶段4：生产期：学生可以自行举出此概念的例子l阶段5：形式期：学生可以说出此概念的定义36（三）影响数学概念学习的因素l研究表明，影响学生概念学习的主要因素包括四个方面：l1、学生的已有经验l2、概念学习素材的性质 l3、学生的概括能力l4、数学语言的表达能力37（三）影响数学概念学习的因素l由于学生掌握的数学概念许多都是从日常概念中发展而来的，因此丰富的生活经验背景和已有知识是理解概念本质的前提；l而概念学习素材的数量、典型性、变式和反例也直接影响着小学生对概念的感知、表征、理解和应用；l学生概括能力是其形成和掌握概念的重要保障；l学生的数学语言表达能力，即学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生深刻理解概念的一种标志。

38有助于学生更好的掌握概念的策略：l1、让学生充分感知，建立清晰的表象；l有效方法：对比、分类和变式l2、让儿童多种感官参与感知活动；l3、注意让学生用自己的语言表述概念的关键属性l4、让学生学习时，给以必要的提示和及时的反馈39（四）概念教学的一般过程l1、创设情境，激发兴趣，引入概念名称l2、观察比较，动手操作，体会概念本质属性l3、抽象概括，用合理的语言表达概念内涵l4、变式练习，及时反馈，巩固概念l5、拓展引申，沟通联系，应用概念案例：负数的认识40三、如何提高概念教学的效率l（一）钻研教材，科学地分析概念的本质l（二）了解学生学习概念中存在的障碍l（三）选择有针对性的教学方法，帮助学生对建立有关概念的多元表征l（四）提供变式练习，促进对概念的理解41小学生认识数概念的特点l小学生在学龄前就逐步建立起了萌芽状态的数概念l小学生真正获得抽象的数概念是在小学阶段l掌握十进位的数概念（计数单位、数位）对学生认识更大的数起到重要的作用l分数概念的形成与发展使学生的数概念的结构开始向小的方向发展，可以逐渐扩展到无穷小42四下多元表征43【案例】对量的概念教学的研究l一、正确认识“量与计量”l量是事物可以比较或者测定的性质，如事物的多少、大小、轻重、高低、速度的快慢等属性都叫做量。

l量可以分为不连续量和连续量两种l计量：把一个量同一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做计量 l计量又有直接计量和间接计量44（二）小学生学习量的概念的特点l一般包括如下三个方面：l1、量的名称和计量单位名称l2、联系实际知道单位量有多少l3、掌握计量方法l难点在于：为何要学习这些量？如何体会量的大小？4546（三）教学对策研究l以计量单位的教学为例l重需求创造强烈的冲突中产生认识计量单位的需求 l重创造在解决问题的过程中经历计量单位的创造 l重体验在不同的视角里建立感受计量单位的经验 （生活、操作、参照物、极端事例）l重应用初步应用中理解 47教学法建议l从整体到局部的教学方法 l创设情境，产生计量需要l尝试创造，建立标准需要。