河北省唐山市2022-2023高一下学期期中数学试卷+答案.pdf

高一数学试卷 第1页（共4页）唐山市十县一中联盟 20222023 学年度高一年级第二学期期中考试 数 学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案答案涂在试卷上一律无效3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，若复数 z(1i)(12i)，则|z|A1 B3 C 3 D 10 2已知向量 a(1，3)，b(1，0)，则 a 与 b 的夹角为 A 6B 3C23D563已知 i 为虚数单位，2i 是关于 x 的方程 x2mx50 的一个根，则实数 m A4 B4 C2 D2 4已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 5，圆心角为65的扇形，则该圆锥的体积为 A169B253C12 D25 5小明为了加强体育锻炼，提高身体素质，从网上购买了一对大小相同的健身哑铃哑铃是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面直径是 8cm，高为2cm，连杆圆柱的底面直径是 2cm，高为 10cm，则一只健身哑铃的体积为 A10cm3 B148cm3 C74cm3 D64cm3 高一数学试卷 第2页（共4页）6如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面四边形 OABC 的直观图，其中 OA5，OC2，则平面四边形 OABC 的面积为 A10 B20 2 C10 2 D20 7在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a 2，b 3，B60，则 A A45 B30 C45或 135 D30或 150 8正四棱锥 SABCD 中，底面边长 AB2，侧棱 SA 5，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为 A4 B16 C83 D43 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9下列四个命题中，真命题是 A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B四边形可以确定一个平面 C若直线 m，n 相交，且 m平面，则 n D若直线 l1平面，直线 l2平面，则 l1l2 10在正方形 ABCD 中，BC1，点 E 满足DEtDC（0t1），则下列说法正确的是 A当 t 1 3时，AE 1 3ABAD B当 t 2 3时，cosAE，BE3510 C存在 t，使得AEBE D|AEBE|的最小值为 2 11如图，A，B，C，D 为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线 AB 与 CD是异面直线的为 A B C D 12在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列说法正确的是 A若 A 3，sin2AsinBsinC，则ABC 为等边三角形 BAB 是 cos2Acos2B 成立的充要条件 C若ABC 的面积为 b(a2c2b2)4a，则 AB 2 D若 D 点满足BD 1 4BC，且 2sinCsinB，则 sinBAD 2 3sinCAD A B C D A B C D A B C D A B C D x O y A B C 高一数学试卷 第3页（共4页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若复数 z1xi，z23yi，z1z256i，其中 x，y 为实数，则 z1z2_ 14已知 A(0，1)，B(1，3)，C(2，k)，且 A，B，C 三点共线，则 k_ 15记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 AC 边上的高为 h，且满足 h2 1 3ac cosAcosC，则 tanAtanC_16已知四点 A，B，C，D 在半径为 1 的圆上，ABCD1，则 ACAD BCBD的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知向量 a 与 b 满足|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为 120 （1）求 ab；（2）求|2a3b|；（3）当 k 为何值时，(a2b)(kab)？18（12 分）已知 bR，a0，复数 zabi，且|z|5，复数 z(1i)在复平面上对应的点在函数 y3x 的图象上（1）求复数 z；（2）若 zm1i（mR）为纯虚数，求实数 m 的值 19（12 分）如图，圆锥的底面半径 r1，母线 SA 的长为 3，E 为 SA 上靠近 A 的一个三等分点，从点 A 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 E（1）求绳子的最短长度；（2）过 E 点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为 V1，V2，求V1V2 O SAEB高一数学试卷 第4页（共4页）20（12 分）在ABC 中，AB3，AC2，AD 为A 的平分线，D 在 BC 边上（1）若BAD 6，求 BC 的长；（2）若 AD6 25，求BAC 21（12 分）如图，某景区绿化规划中，有一块等腰直角三角形空地 ABC，BAC 2，BC30m，Q 为 BC 上一点，满足 BQ2CQ现欲在边界 AB，AC（不包括端点）上分别选取 M，N两点，并在四边形 AMQN 区域内种植花卉，且MQN 2，设NQC（1）证明：QMQN2；（2）tan 为何值时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半？22（12 分）如图，扇形 OAB 的半径为 2，圆心角为 2，N 点是弧 AB 上一动点（不包括端点），且 NMOA 于 M，NQOB 于 Q设MON，将扇形 OAB 绕 OB 所在直线旋转一周，由图中空白部分 OMNQ 旋转形成的几何体的表面积记为 S，体积记为 V（1）若 3，求 S；（2）当 为多大时，VS最大，并求最大值 B N O Q A M N B A C Q M C B A D 高一数学答案 第1页（共4页）唐山市十县一中联盟 20222023 学年度高一年级第二学期期中考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一选择题：14 DBAC 58 CBAD 二选择题：9AC 10AD 11ACD 12ABD 三填空题：1314i 147 15 1 3 166 四解答题：17解：（1）ab|a|b|cos120 1 分 1 1 分（2）(2a3b)24a212ab9b213，2 分|2a3b|13 2 分（3）由(a2b)(kab)，得(a2b)(kab)0 1 分 即 ka2ab2kab2b22k10，2 分 得 k 1 2 1 分 18 解：（1）由已知得：|z|a2b2 5 2 分 z(1i)(abi)(1i)ab(ab)i，所以 ab3(ab)，即 b2a，2 分 a2b25b2a 又因为 a0，所以 a1，b2，z12i 2 分（2）由 zm1i12im(1i)(1i)(1i)1 分 1m2(2m2)i，2 分 若 zm1i（mR）为纯虚数，则 1 m 20，且 2 m 20，2 分 得 m2 1 分 高一数学答案 第2页（共4页）19 解：（1）将圆锥侧面沿母线 AS 展开可得一扇形，连接 AE，此时绳子的长度最短，2 分 在SAE 中，SE2，SA3，ASE23，1 分 由余弦定理得 AE2AS2ES22ASEScosASE19，2 分 得 AE 19 1 分（2）过 E 点做与底面平行的截面，将圆锥分为上下两部分，上部分圆锥体积为 V1，下部分圆台体积为 V2，设大圆锥体积为 V，V1V(SESA)3(2 3)3827，3 分 即 V1827V，1 分 V2V827V1927V，1 分 所以V1V2819 1 分 20解：（1）由BAD 6，得BAC 3，2 分 由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC7，2 分 故 BC 7 1 分（2）设BAC2，由 SABCSABDSACD，1 分 得 1 2ABACsin2 1 2ABADsin 1 2ACADsin，2 分 因 sin0，则 sin2sin(ABAC)ADABAC，2 分 即 2cos 2，cos22 1 分 故 45，则BAC90 1 分 21证明：由已知得 BQ20，QC10，BQM 2，1 分 在QNC 中，C 4，QNC34，1 分 在QMB 中，B 4，MQB2，BMQ 4，1 分 高一数学答案 第3页（共4页）（1）在QNC 中，由正弦定理得：QNsinCQCsinQNC，1 分 所以 QNQCsinCsinQNC 1 分 在QMB 中，由正弦定理得：QMsinBQBsinBMQ，1 分 所以 QMQBsinBsinBMQ 1 分 又 sinQNCsinAMQsinBMQ 由得：QMQN2 1 分（2）SQBMSQNC 1 2SABC 225 2，SQBM 1 2QBQMsin(2)10 QM cos，SQNC 1 2QCQNsin5QNsin，1 分（两个面积表达式，1 个正确就得 1 分，2 个正确也得 1 分）所以 10QMcos5QNsin 225 2，即 2QMcosQNsin 45 2 由（1）知 QM2QN，所以 4QNcosQNsin 45 2，1 分 又 QNQCsinCsinQNC5 2sin(34)10 sincos，1 分 代入解得：7cos5sin，tan 7 5 所以，当 tan 为 7 5时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半 1 分 22解：（1）当 3时，得 MN2sin 3，1 分 OM2cos1，1 分 则 S2OM 22OMMN 1 分 22 3 1 分（2）在MON 中，MN2sin，OM2cos，所以 S2OM 22OMMN 2(2cos)22(2cos)(2sin)8cos28cossin 2 分 VOM 2MN8cos2sin，1 分 VS8cos2sin8cos28cossinsincossincos 1 分 令 tsincos 2sin(4)，0 2，则 1t 2，1 分 高一数学答案 第4页（共4页）则 t212sincos，则 sincost212，所以 VSt212t 1 2(t 1 t)，1 分 VS 1 2(t 1 t)在(1，2上递增，当 t 2时，取得最大值2 4 1 分 即 sin(4)1，4时，VS最大，最大值为2 41 分 。