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高考数学复习提问式学习法第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数　　第三章 数列　　第四章 三角函数 第五章 平面向量　　第六章 不等式第七章 直线与圆的方程第八章 圆锥曲线　　第九章 立体几何第十章 排列、组合、概率 第十一章 统计与导数 第一章 集合与简易逻辑1．为什么集合中的元素必须是确定的?答：“集合中的元素必须是确定的”，意思是说，“对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的”．例如由所有直角三角形组成的集合，这个集合中的元素的意义是明确的．如果说“由高个子组成的集合”，那么这个“集合”中的元素的意义是不明确的，因为“高个子”是一个没有严格的数量标准的、相对模糊的概念，所以这个“高个子集合”是无法组成的．2．为什么集合中的元素必须是互异的?答：“集合中的元素必须是互异的”，这句话通常称为集合中元素的相异性．就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．因此，如果把两个集合｛1，2，3，4｝，｛3，4，5，6，7｝的元素合并在一起构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4，5，6，7这七个元素．4.“事实上，设ｘ是集合A的任意一个元素，因为ＡＢ，所以ｘ∈Ｂ，又因为ＢＣ，所以ｘ∈Ｃ，从而ＡＣ．”这段话是什么意思?答：这是“对于集合Ａ，Ｂ，Ｃ，如果ＡＢ，ＢＣ，那么ＡＣ”这一命题的数学证明．这种证明方法在集合论中常常用到．要证明关系式ＡＣ成立，我们的方法就是从关系式左边的集合中任取一个元素ｘ，证明ｘ也属于关系式右边的集合，即从ｘ∈Ａ推证ｘ∈Ｃ．5．集合之间的关系图是一种什么性质的图形，使用时要注意些什么?答：这种图在数学上也称为文（Ｊｏｈｎ　Ｖｅｎｎ，1834年～1923年，英国逻辑学家）氏图．它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用（就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样），因此边界用曲线还是直线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行．决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素（事实上，这个集合可能与“点”毫无关系）；至于边界上的点是否属于这个集合，也都不必考虑．6.怎样正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 的意义？ 　　答： “ 或 ” 这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的某一个，但不是两者．日常生活中有时采用这一解释．例如 “ 你去或我去 ” ，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能．另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的任何一个或两者．例如 “ ｘ ∈ Ａ或ｘ ∈ Ｂ ” ，是指ｘ可能属于Ａ但不属于Ｂ（ “ 但 ” 在这里实际上等价于另一逻辑联结词 “ 且 ” ），ｘ也可能不属于Ａ但属于Ｂ，ｘ还可能既属于Ａ又属于Ｂ（即ｘ ∈ Ａ ∩ Ｂ）．又如在 “ ｐ真或ｑ真 ” 中，可能只有ｐ真，也可能只有ｑ真，还可能ｐ，ｑ都为真．数学书籍中一般采用后一种解释，运用数学语言和解数学选择题时，都要遵守这一点，还要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” ． 7.“ ｐ或ｑ ”“ ｐ且ｑ ”“ 非ｐ ” 这三个复合命题概念后，怎样进行真假概括？ 　　 答：（ 1 ）对于复合命题 “ ｐ或ｑ ” ，当且仅当ｐ，ｑ中至少有一个为真（包括两个同时为真）时，它是真命题；当且仅当ｐ，ｑ都为假时，它是假命题 　　 （ 2 ）对于复合命题 “ ｐ且ｑ ” ，当且仅当ｐ，ｑ都为真时，它是真命题；当且仅当ｐ，ｑ中至少有一个为假（包括两个同时为假）时，它是假命题． 　　 （ 3 ）对于复合命题 “ 非ｐ ” ，当且仅当ｐ为真时，它是假命题；当且仅当ｐ为假时，它是真命题． 　　 以上也可以利用真值表示进行概括． 　　 可以看出，要使学生正确理解上述概念，还要让他们熟练掌握并会灵活运用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同时 ” ，以及 “ 至少有一个是（不是） ”“ 最多有一个是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 这些词语．这也是学习数学的难点之一，需要长期不懈地进行训练，才能达到要求． 8怎样用推出符号对 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ” 和 “ 充要条件 ” 进行概括？ 　　 答：（ 1 ）若ｐ ｑ，且 ｐ，则ｐ是ｑ的充分且不必要条件，ｑ是ｐ的必要且不充分条件；　　　（ 2 ）若ｑ ｐ，且ｐ ｑ，则ｐ是ｑ的必要且不充分条件，ｑ是ｐ的充分且不必要条件； 　　 （ 3 ）若ｐ ｑ，且ｑ ｐ，则ｐ是ｑ的充要条件（此时ｑ也是ｐ的充要条件）； 　　 （ 4 ）若ｐ ｑ，且 ┐ ｐ ｑ　 ┐ ，则ｐ是ｑ的充要条件（此时ｑ也是ｐ的充要条件）． 9.怎样让正确判断 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ”“ 充要条件 ” 以及 “ 不充分且不必要条件 ” ？ 　　答：这四种情况反映了条件ｐ和结论ｑ之间的因果关系，所以在判断时应该让学生： 　　 （ 1 ）确定条件是什么，结论是什么； 　　 （ 2 ）尝试从条件推导结论，从结论推导条件； 　　 （ 3 ）确定条件是结论的什么条件． 　　 要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性． 第二章 函数 1．怎样理解函数和映射的概念？函数与映射有什么相似点与区别?答：函数的定义为：1．传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量，如果对于自变量在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，叫做自变量.自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.2.现代定义（集合观点下的定义）：设、是两个非空数的集合，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数与它相对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.3.两个定义在本质上是一致的，只是叙述的出发点不同.映射是定义是：设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应（包括集合、以及到的对应法则）叫做集合到集合的映射，记作：.根据映射的定义，可以发现：映射强调的是一种对应关系，它是一种特殊的对应，其特点是：（1）映射中集合、可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须必须有先后次序，从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的.（2）映射包括集合、以及到的对应法则，三者缺一不可.（3）对于一个从到的映射而言，中每一个元素必有唯一的象，但中的每一个元素却不一定有原象，若有也不一定只有一个.根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.2．符号的含义是什么？与的区别与联系？答：是“是的函数”的数学表示形式，是表示函数的数学符号，是自变量的函数，不是“等于与的积”；在一般情况下是个变量，它一般通过关于的解析式体现出来，但的含义中也不一定是解析式，因为有些函数的对应法则无法用解析式来表示.与的含义不同，表示自变量时所得的函数值，它是一个常量.3．怎样理解函数的单调性与单调区间？答：如果函数在某个区间是增函数或减函数，就说在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间.对函数的单调性与单调区间的理解要注意几点：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有的函数在整个定义域内是单调的；有的函数在定义域的某个区间内是单调的；还有的函数在定义域内不是单调函数.（2）函数的单调性具有可逆性.也就是说，若在区间上单调递增，则当且时，有；若在区间上单调递减，则当且时，有； （3）函数单调性定义中的两数具有三个特性：一是任意性，即两个数是任意选取的，没有特殊性；二是有大小，通常我们取；三是必在同一个单调区间.（4）在函数单调区间的书写上，由于函数在定义域内某点的函数值是确定的，因此讨论函数在某点处的单调性没有意义，所以在书写函数的单调区间时，区间的端点是开是闭没有严格的规定.若函数在这点有意义，可以写成闭区间或开区间；但若函数在这点没有意义，则只能写成开区间.（5）若函数在其定义域内的两个区间上都是增（减）函数，一般不能简单认为在上是增（减）函数.4．怎样理解反函数的概念？原函数与反函数是关系如何？答：在函数中，是自变量，是的函数.设它的定义域为，值域为，我们根据函数中的关系，用把表示出来，得到，如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记做：.注意：（1）习惯上我们都用表示自变量，表示函数，因此我们可以对换，的位置，将函数的反函数表示为.（2）函数的反函数本身也是一个函数，原函数与它的反函数互称反函数.（3）反函数的定义域和值域刚好是原函数的值域和定义域，否则不行.（4）从映射的角度看，函数是定义域集合到值域集合的映射，它的反函数是原函数值域集合到原函数定义域集合的映射.（5）不是所有的函数都存在反函数.只有当定义域集合中的与值域集合中的是一一对应关系时，才有反函数. 第三章 数列1．数列知识在高中数学中的地位如何？答:数列是高中数学重要内容之一，重要性如下： 　　（1） 数列具有广泛的实际应用，如堆放物品总数的计算，产品规格设计的某些问题，储蓄、分期付款等都要用到数列知识。

　　（2）  数列起到承前启后的作用由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解同时学习数列又为进一步学习极限等内容作好了准备，是学习高等数学的基础 　　（3） 数列是培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力的良好题材，学习数列要经常观察，分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，有助于数学能力的提高 2.求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？     答：有以下四种基本方法：     （ 1 ）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出．     （ 2 ）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第ｎ项ａｎ 的表达式即通项公式．     （ 3 ）待定系数法．求通项公式的问题，就是当ｎ＝ 1 ， 2 ， … 时求ｆ（ｎ），使ｆ（ｎ）依次等于ａ 1 ，ａ 2 ， … 的问题．因此我们可以先设出第ｎ项ａ ｎ 关于变数ｎ的表达式，再分别令ｎ＝ 1 ， 2 ， … ，并取ａ ｎ 分别等于ａ 1 ，ａ 2 ， … ，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式．     （ 4 ）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式．3．等差数列有哪些基本性质？     答：（ 1 ）当ｄ＞ 0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当ｄ＜ 0 时，等差数列中的数随项数的减小而减小；当ｄ＝ 0 时，等差数列中的数等于一个常数．注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集Ｒ，图象是（连续的）一条直线．这是目前教学中普遍出错的地方 !     （ 2 ）在有穷的等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和．     （ 3 ）如果ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ（ｍ，ｎ，ｐ。