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《线性代数》考研讲义5第五部分特征值与特征向量一. 特征值与特征向量的概念、计算、性质1. 特征值与特征向量的概念设人为n阶矩阵,人是一个数.若存在非零的n维向量x，满足Ax = Xx，则称人是A的特征值,x为 A的属于特征值人的特征向量.2. 特征值与特征向量的计算称n次多项式/ (人)=IA-xE为A的特征多项式，而lA—入E|=0为A的特征方程.特征值与特征向量的计算方法：(1) A的特征多项式/)= lA — x^的根就是A的特征值，设为\, \，…,入；1 2 s(2) 对七(i T，2,…,s)，解齐次线性方程组(A — x E)x = 0，其基础解系为A的属于特征值%的线性无关的特征向量;其非零解为A的属于特征值%的全部特征向量.3. 特征值与特征向量的性质(1) 设A的特征值为气，土，…，x，则1 2 n① X+X + ••• + % = a + a + ••• + a .1 2 n 11 22 nn② 七%…% = A|.(2) A与人丁有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量.(3) 设%是A的特征值，x为A的属于特征值%的特征向量，则%也是山的特征值，x为山的属于特征值%的特征向量;一般地,平(％)为中(A)的特征值,x为中(A)的属于特征值平(％)的特征向量.其中中(x) = a xm + a xm—1 + + a x + a(4)若%是可逆矩阵A的特征值,则％。

0.且%-1为A—1的特征值,A 为A*的特征值.同时它们有相 %同的特征向量.二. 相似矩阵及其性质1. 相似矩阵的概念设A,B为n阶矩阵.若存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称A,B相似，记为A〜B.2. 相似矩阵的性质若A〜B，则(1) At〜Bt ; A—1〜B—1(若A , B可逆)；A上〜Bk (k为正整数)；(2) |A 一人E - B 一人E ；【注意】若A,B有相同的特征值，但A,B不一定相似.(3) R(A) = R(B)；\A\ = |B .三. 一般矩阵的对角化n阶矩阵A能对角化=A有n个线性无关的特征向量=A的重特征值有重数个线性无关的特征 向量.若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能对角化.A的相似对角化的步骤：(1) 求A的特征值；(2) 求A的n个线性无关的特征向量P］，P2,…，Pn ;(3) 令相似变换矩阵P = (P，P，…,P )，则P-］AP = A = diag(人,人，…，人).1 2 n 1 2 n【注意】在A的相似对角矩阵A中，必须APj = yj(j = ］，2,…,n)四. 实对称矩阵的对角化(1) 实对称矩阵的特征值全为实数；(2) 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交；(3) n阶实对称矩阵A必有n个线性无关的特征向量，则实对称矩阵A必能对角化，即存在正交矩阵P，使得P-1AP = PtAP = A = diag(人,入，…，入)其中入,入，…,入为A的特征值.12 n 12 n典型例题例1设A为三阶实对称矩阵，且A3 - 3A2 + 5A - 3E = O，则A的三个特征值为——111 解 设X £ R为A的特征值，则人 3 - 3X 2 + 5X- 3E = O n (X- 1)(X 2 — 2X + 3) = 0 nX = 1为惟一实特征值.例2元素全为3的n阶矩阵A的n个特征值为 解 A的特征多项式为|A-XE = (3n-X)(-X)n-1.C 4 ■ ,1 ■、例3设X = 2为A的一个特征值，则2A -(4 A3)-1有一个特征值为解设x为a的一个特征值，则2x-(4 x 3)-1=2人一4人-3为2a _(4 A3)-1的特征值.例4设A为三阶矩阵，其特征值为1,2,3，若A与B相似，则B* + E = B的特征值也是1,2,3, B*的特征值为%. 6,3，颂B* + E = (6 +1)(3 +1)(2 +1) = 84.(32—2 )例5设三阶矩阵A =一—1k[42-3 J解有三个线性无关的特征向量，则k =|A —人E| =(1—人)+仇2今人=一有二个线性无关的特征向量设三阶实对称矩阵A有特征值1,1,一2,且& 1 = (L1,—1)t是对应于入=一2的特征向量，则人为( ).(0—11)(11-1)—101(B)—121、110 J、110 J(A)(0—11)(1—11)012(D)-101110 JI 110,(C)选(A).例7设七=2,气=1,入3 =—1为三阶矩阵A的三个特征值,对应的特征向量为P = (2a ,3a , —a ),则 P-1(A + 2E)P =((3 )(4 )(2 )(1 )1(B)3(C)1(D)—141-1,2)•2(A)解例( ).选(A).8设人为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中可用正交变换化成对角形的矩阵是(A)ABA (B)BAB (C) (AB)2 (D) AB2解BAB为对称矩阵.选(B).)•例9已知三阶矩阵人的特征值为0，土1,则下列命题中不正确的是((A)A为不可逆矩阵 (B)A的主对角线元素之和为零(C)1与一1所对应的特征向量相互正交 (D)Ax=0的基础解系仅一个向量解选(C).例10与矩阵0 1 0相似的矩阵是().100 2 J(1 00 )(10 1)(10 0 )(1 0 0、(A)010(B)0 2 0 (C)1 2 0 (D)011D 02 J^ 0 0 1J〔1-1 1J〔0 0 2解 只需判断人=1时有两个线性无关的特征向量.选(D).例11设人为n阶实对称矩阵，且A2 = &1 < R(A) < n，则A的特征值为().(A)只取0 (B)只取1 (C)只取0,1 (D)只取土1解 A2 = A得A的特征值只能为0或1,由1V R(A) < n知，A的特征值不能全为零也不能全为1(事实上:若A为实对称矩阵，则R(A) = A的非零特征值的个数.可用实对称矩阵的对角化理论证明)，从而 选(C).例12设a =(a ,a，…,a )t,8 = (b ,b，…,b )t都是非零向量，且a邛=0.令A =郎t1 2 n 1 2 n求：(1) A2； (2) A的特征值与特征向量.解⑴A2 - 0 ;(2) 设X为A的特征值，则X 2 = °,所以A的特征值全为零.不妨设a1。

0,«°,解方程组(A — 0 E) X = 0,(b b b )1 2 n0 0 … 0A -••••〔0 0 0/故基础解系为：b 一八 八 b b 一p =(―户,1,0,…,0)T,p = (—3,0,1,•••,0)T，…，p = (—丁,0,0, •••,1)TI b 2 b n —1 b ，则A的对应于特征值X = 0的全部特征向量为k p + k p d F k pII 2 2 n—1 n—1，其中k1,k2，…,kn—1不全为零.例13设A为n阶实矩阵，证明:如果|A|丰0，则A可表示为A = QB，其中Q为正交矩阵，B为可逆对称矩阵.证lAl0,A可逆，又AtA = AtEA，则AtA与E合同，则AtA为正定矩阵，则存在正交矩阵p使得F1At A = Pt其中\ > 0(/ = 1,2,…，n)为AtA的全部特征值.则其中AtA = PtB = Pt显然B为可逆对称矩阵，且B—1也为对称矩阵.设Q = Abt n QtQ = E，则Q为正交矩阵，所以A = QB .(—200 )(—200 )例14设A =-13—3与B=0°0L-11^ 002 J相似，求:⑴以，°之值；(2)可逆矩阵P，使得P-1AP = Bn 以=—1,。

0.f—2 + 3 + a = —2 + ° + 2, 解⑴ i|A| = —4°,(2)略.a—11—10111b例 15 设&=(L1，2)T 是 A =的特征向量，求a，b解 由 A^ =X^ n a = b = 0例16设n阶矩阵A，B可交换，且A的特征值不相同,证明：⑴存在可逆矩阵尸，使得PTAP, P-1 BP均为对角矩阵；（2） B必可写成A的多项式.证（1）存在可逆矩阵P，使得P-1 AP = N = diag（气，\，…，人），其中气，\，…，入为A的特1 2 n 1 2 n征值.又P-1AP - P-1BP = P-1ABP = P-1 BAP = P-1BP - P -1AP，即A- P-1BP = P-1BP-A ，因为%，七…，七互不相等，所以P-1BP也是对角矩阵（与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵）.（2）由于P-1AP，P-1BP均为对角矩阵，则存在n T次多项式/（x），使得f （P-1 AP） = P-1BP n P-1 f （A） P = P-1BP n f （A） = B.例17设A为n阶实对称矩阵，求证:对充分大的'，tE + A是正定矩阵.证明 要点：tE + A为对称矩阵，其特征值为t"，其中人为A的特征值.令t大于A的最小特征值, 则 t + X > 0.例18设A为三阶实对称矩阵，特征值为七=X2 = 2, X3 = L对应于特征值2的一个特征向量为 （1，-1，1）r，对应于特征值1的一个特征向量为（1，0, -1）t，求对应于特征值2的与（1，-1，1）r线性无关的 一个特征向量，并求A .（3 0 1、答案：（1，a，1）T，a N-1,如（1，0，1）t .A = 2 0 4 0 .〔1 0 3。