《信号与系统》第7章.ppt

信号与系统,第七章 系统函数,2,7.1 系统函数与系统特性,本节主要内容 系统函数零点与极点：类型、性质、在 s 平面上的位置、阶数，以及无穷远处的零、极点； 系统函数与时域响应的关系：在 s 平面上不同位置、不同阶数的极点对应不同形式的时域响应； 系统函数与频率响应：由系统函数求系统的频率响应，系统函数零、极点的位置与系统频率响应的关系； 全通函数 最小相移函数,3,7.1.1 系统函数的零点与极点,系统函数的的有理分式表示LTI系统的系统函数是复变量s的有理分式上式中的系数均为实数4,7.1.1 系统函数的零点与极点,系统函数的零极点表示A(s) = 0 的n个根pi为系统函数的Ｈ(s)的n个极点；B(s) = 0 的m个根ζj为系统函数的Ｈ(s)的m个零点5,7.1.1 系统函数的零点与极点,系统函数零、极点的类型与性质 系统函数的零点和极点的值可能是： 实数 虚数 复数 由于A(s)和B(s)的系数均为实数，所以，若零极点为虚数或复数，则必然共轭成对，即若s = α + jβ是系统的一个零（极）点，则s = α − jβ 也是系统的一个零（极）点6,7.1.1 系统函数的零点与极点,零、极点在s平面上的位置 实零、极点位于实轴上； 共轭虚零、极点位于虚轴上且对称于实轴； 共轭复零、极点对称于实轴。

零、极点的阶数 A(s) = 0 或 B(s) = 0 的根相同的数量为极点或零点的阶数 单零、极点也称为一阶零、极点； 二阶（或以上）零、极点为重零、极点7,7.1.1 系统函数的零点与极点,零、极点的几种分布,8,7.1.1 系统函数的零点与极点,无穷远处的零点无穷远处的极点,9,7.1.2 系统函数与时域响应的关系,系统的自由响应的函数形式由 A(s) = 0 的根确定，即由系统函数 H(s) 的极点确定 H(s) 的极点按其在 s 平面上的位置可分为： 在左半开平面； 虚轴；在右半开平面 极点按实部、虚部可分为 实数极点；虚数极点； 复数极点 按阶数可分为 单（一阶）极点； 重（多阶）极点10,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为左半开平面的单实极点,11,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为左半开平面上的单共轭复极点,12,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为左半开平面的二阶实极点,13,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为左半开平面的二阶共轭复极点,14,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为左半开平面的 r 阶实极点当极点为左半开平面的 r 阶共轭复极点当 t → ∞ 时，上述两种情况的时间响应均趋于零。

15,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为虚轴上原点的单极点,16,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为虚轴上的单共轭虚极点,17,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为虚轴上原点的二阶极点,18,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为虚轴上的二阶共轭虚极点,19,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为虚轴上原点的 r 阶极点当极点为虚轴上的 r 阶共轭虚极点上述两种情况的时间响应均随时间的增长而增大20,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为右半开平面的单实极点,,,,,,,,,,21,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为右半开平面上的单共轭复极点,22,7.1.2 系统函数与时域响应,当极点为右半开平面的 r 阶实极点当极点为右半开平面的 r 阶共轭复极点当极点处于右半开平面时，无论是是实、是复，是单、是重，所有情况的时间响应均随时间的增长而增大23,7.1.2 系统函数与时域响应,24,7.1.2 系统函数与时域响应,结论 LTI系统的自由响应和冲激响应的函数形式由系统函数的极点的位置确定； 左半开平面的极点所对应的时间响应函数都是衰减的，当 t → ∞ 时，时间响应函数均趋于零； 虚轴上的一阶极点所对应的时间响应函数的幅度不随时间变化； 虚轴上的多阶极点和右半开平面的极点所对应的时间响应函数都随时间的增长而增大。

25,7.1.3 系统函数与频率响应,由系统函数求得频率响应若系统函数的所有极点均在左半开平面，那么其收敛域必定包含虚轴，于是可由系统函数得频率响应：,26,系统函数的极点、零点对频率响应的影响,极点因素 频率值w在极点的虚部附近，幅频响应出现峰值； 极点的实部绝对值越小，即极点越接近虚轴，峰值越突出； 极点虚部越大，幅频响应越向右移动 零点因素 频率值w在零点的虚部附近，幅频响应出现谷值； 零点的实部绝对值越小，即零点越接近虚轴，谷值越突出；,27,7.1.3 系统函数与频率响应,零、极点矢量图,28,7.1.3 系统函数与频率响应,频率响应的表示,29,7.1.3 系统函数与频率响应,一个例子：画出系统幅频、相频特性曲线解：,30,7.1.3 系统函数与频率响应,一个例子：画出系统幅频、相频特性曲线（续1）,31,7.1.3 系统函数与频率响应,一个例子：画出系统幅频、相频特性曲线（续2）,32,7.1.3 系统函数与频率响应,全通函数若 |H( jω)| = 常数，则 H(s) 称为全通函数 系统函数为全通函数的条件零、极点数相等且对于虚轴镜像对称33,7.1.3 系统函数与频率响应,例：二阶全通函数,34,7.1.3 系统函数与频率响应,例：二阶全通函数（续1）,35,7.1.3 系统函数与频率响应,例：二阶全通函数（续2）,36,7.1.3 系统函数与频率响应,最小相移函数,Ha(s)的零极点,Hb(s)的零极点,37,7.1.3 系统函数与频率响应,幅频特性比较相频特性比较,38,7.1.3 系统函数与频率响应,结论对于幅频特性相同的系统函数而言，零点位于左半平面的系统函数，其相频特性最小，故称最小相移函数。

另一种定义方法对于零点有可能出现在虚轴上的系统，可用另一种方法定义：对于幅频特性相同的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数，其相频特性最小，故称最小相移函数39,7.1.3 系统函数与频率响应,非最小相移函数可表示为最小相移函数与全通函数之乘积,40,7.2 系统的因果性与稳定性,本节主要内容 系统的因果性：因果性的含意，LTI因果系统的充分和必要条件，LTI因果系统函数的收敛域； 系统的稳定性：稳定性的含意，LTI稳定系统的充分和必要条件，LTI稳定系统函数的收敛域； 系统的可观察性； 系统稳定性的判断方法与准则41,7.2.1 系统的因果性,系统因果性的含意因果系统是指：系统的零状态响应 yf (·) 不出现于激励 f (·) 之前的系统 因果系统的定义对于 t = 0 时刻接入的任意激励 f (·)，即 f (·) = 0，t < 0 若系统的零状态响应有 yf (·) = 0 ，t < 0 则该系统是因果的；否则为非因果的42,7.2.1 系统的因果性,因果系统的充分和必要条件h(t) =0 ，t σ0,43,7.2.2 系统的稳定性,系统稳定性含意稳定系统是指：若对任意的幅度有界的输入，系统的零状态响应幅度也是有界的系统。

稳定系统的定义设 Mf 、My 为正实常数，若系统对于所有激励 | f (·) | ≤ Mf 系统的零状态响应有| yf (·) | ≤ My 则该系统是稳定的；否则为非稳定的44,7.2.2 系统的稳定性,稳定系统的充分和必要条件或 系统函数的所有极点均位于s左半平面 因果且稳定系统的系统函数的收敛域Re[s] > σ0， σ0 < 0,45,7.2.2 系统的稳定性,系统的可观察性子系统 Ha(s) 不稳定，但在 yf (t) 中观察不到 可观察性定义若在系统输出端能观察到所有固有响应分量，则为可观察的，否则为不可观察的46,7.2.2 系统的稳定性,例：系统稳定性确定 K 使系统稳定 解：,47,7.2.2 系统的稳定性,例：系统稳定性（续）为使极点军在左半开平面，必须,48,7.2.3 系统稳定性准则,系统稳定性准则也成为罗斯-霍尔维兹准则设系统函数为稳定系统要求 H(s) 的极点，即 A(s) = 0 的根，全部处在左半开平面于是，判定系统是否稳定就是判断系统的极点是否都在左半开平面，也就是判断 A(s) = 0 的根，即特征根，是否都在左半开平面。

49,7.2.3 系统稳定性准则,霍尔维兹多项式所有的根均在左半开平面的多项式 霍尔维兹多项式的特点实根：(−α)，对应一次因子 (s + α)；复根： (−α ± jβ)，对应二次因子 [(s + α)2 + β2]；因 α > 0 和 β2 > 0，所以 ai > 0 (i=0,1,2,…,n)结论：若 A(s) 为霍尔维兹多项式，则 A(s) 的每一项系数都必须大于零但是：即使 A(s) 的所有系数均为正数，特征根仍有可能出现在右半开平面50,7.2.3 系统稳定性准则,罗斯阵列 罗斯准则（罗斯判据）多项式 A(s) 是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是：罗斯阵列中第一列所有元素均大于零51,7.2.3 系统稳定性准则,二阶系统的稳定性判断为霍尔维兹多项式的条件是例：二阶系统的稳定性判断,52,7.2.3 系统稳定性准则,例：罗斯判据A(s) = s4 + s3 + 2s2 + s + 3A(s) 不是霍尔维兹多项式，有两个根在右半平面 A(s) = (s2 − s +1) (s2 + 2s +3),53,7.3 信号流图,信号流图的构成单元信号流图的基本构成单元为结点和连接各结点的赋权有向支路。

结点：每个结点对应一个变量或信号； 支路：连接两结点的线段； 有向支路：具有方向的支路，支路中的箭头表示信号流动的方向； 赋权支路：具有赋权值（增益）的支路； 源结点：仅有出支路、没有入支路的结点； 汇结点：仅有入支路、没有出支路的结点54,7.3 信号流图,信号流图的运算功能,55,7.3 信号流图,信号流图的一个实例,,56,7.3 信号流图,信号流图的化简,57,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,58,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,59,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,60,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,61,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,62,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,63,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,64,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,65,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,66,7.3 信号流图,例：信号流图的化简,,67,7.4 系统模拟,系统模拟的意义 用数学的方法构造一个模拟系统，去模拟真实的系统或设计中的系统 模拟系统与被模拟系统具有相同的数学模型 用计算机对模拟系统进行全面的分析计算和模拟实验，可以更加有效地掌握真实系统或将要变为真实的系统的各种参数和性能。

本节主要内容 系统模拟的直接形式 系统模拟的级联和并联形式,68,7.4.1 直接实现,二级系统的直接实现 系统函数 信号流图 系统框图,69,7.4.1 直接实现,信号流图的转置 将所有支路方向反转 源结点与汇结点对调 输入在左、输出在右 新流图与原流图等价,70,7.4.1 直接实现,71,7.4.1 直接实现,n 阶系统的直接实现,72,7.4.1 直接实现,n 阶系统的直接实现的信号流图,73,7.4.1 直接实现,n 阶系统的直接实现的转置形式的信号流图,74,7.4.2 级联和并联实现,级联实现将系统函数分解为若干个较为简单的子系统之乘积，即,75,7.4.2 级联和并联实现,并联实现将系统函数分解为若干个较为简单的子系统之和，即,76,7.4.2 级联和并联实现,一阶和二阶子系统函数和信号流图 一阶二阶,77,7.4.2 级联和并联实现,一阶和二阶子系统信号流图和系统框图,78,7.4.2 级联和并联实现,。