求数列通项公式的7种方法.docx

一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例 1.求和：S = 1 + 3a + 5a2 h f （2n 一 1） - an-1（a 丰 0）.n例2.已知数列｛a ｝满足：a + 3a +…+ (2n — 1)a = (2n — 3) - 2n+1,数列｛b ｝的前n项和 n 1 2 n nS = 2n2 + n — 2.求数列｛a - b ｝的前n项和W .n n n n二、累加、累乘法1、累加法 适用于： a = a + f (n) n +1 na —a = f (1)21a —a = f (2)若 a — a = f (n) (n > 2)，贝y 3 2n+1 n • •• •• •a —a = f (n)n +1 n两边分别相加得an+1 - a1 =2 f (n)k =1例1 已知数列｛a ｝满足a = a + 2n +1，a = 1，求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n求数列｛a ｝的通项公式n例2已知数列｛a ｝满足a = a + 2x 3n +1, a = 3 ,n n+1 n 12、累乘法适用于：a = f (n) an+1 n若一= /(n), anaa则—=/⑴—=aa12f (2)，a,—n+an=f (n)两边分别相乘得，齢=a •打f (k)a11 k =1例3已知数列｛a ｝满足an n +1= 2(n +1)5n x a ，n求数列｛a ｝的通项公式。

n例4｝通项公式.n已知 a = 1, a = n(a — a ) (n e N*)，求数列｛a1 n n+1 n三、待定系数法 适用于a二qa + f (n)n+1 n分析：通过凑配可转化为a +九f (n)二九[a +九f (n)];n+1 1 2 n 1解题基本步骤：1、 确定 f (n)2、 设等比数列｛a +九f (n)｝，公比为九n 1 23、 列出关系式a +九f (n)二九[a +九f (n)]n+1 1 2 n 14、 比较系数求九，九125、 解得数列｛a +九f (n)｝的通项公式n16、 解得数列｛a ｝的通项公式n例5已知数列｛a ｝中，a二1,a二2a + 1(n > 2)，求数列｛a ｝的通项公式n 1 n n-1 n例6已知数列｛a ｝满足a = 2a + 4-3n-1， a = 1，求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n例7已知数列｛a ｝满足an n+2二5a -6a ,a =-1,a二2，求数列｛a ｝的通项公式n+1 n 1 2 n四、迭代法例8已知数列｛a ｝满足a = a3(n+D2n,n n +1 na二5，求数列｛a ｝的通项公式。

1n五、变性转化法1、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例10已知数列｛｝满足a = 怙,a =1，求数列｛｝的通项公式 n n +1 a + 2 1 n2、换元法 适用于含根式的递推关系例11已知数列｛a ｝满足a =丄(1+ 4a + J + 24a ), a = 1，求数列｛a ｝的通项公式 n n+1 16 n * n 1 n六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳 法加以证明8(n +1) 8例12已知数列｛a ｝满足a = a + ，a =，求数列｛a ｝的通项公式n n+1 n (2n +1)2 (2n +3)2 1 9 n七、阶差法1、递推公式中既有S，又有ann分析：把已知关系通过a -1 转化为数列乞｝或S的递推关系，然后采用相应的n IS — S , n > 2 n nn n—1方法求解例13已知数列｛a ｝的各项均为正数，且前n项和S满足S = 1(a + 1)(a + 2)，且a , a , a成 n n n 6 n n 2 4 9等比数列，求数列｛a ｝的通项公式n2、对无穷递推数列例14已知数列｛a ｝满足a = 1， a = a + 2a + 3a + + (n — 1)a (n > 2)，求｛a ｝的通项公式。

n 1 n 12 3 n—1 n。