北师大版初三(下)数学第88讲：圆(学生版).docx

圆____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握与圆有关的概念、圆周角定理；2.掌握圆的有关概念、定理的应用.1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转________，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．记作⊙O，读作圆O.点O叫做圆心，线段OA叫做半径确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径2)圆是到_______的距离等于_________的点的集合．2.弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径直径等于半径的两倍3.弧： (1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB(⌒),读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB(⌒).小于半圆的弧叫做劣弧，如AB(⌒)。

3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧 （图一） （图二）4. 同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆同圆或者等圆的半径相同3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆 5．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在__________的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的_____________．(2)圆周角：顶点在__________，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；_________________，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为_______．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是____________．⑤圆内接四边形的对角_______；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．1.圆的基本概念【例1】 下列说法中，不正确的是（ ）A.过圆心的弦是圆的直径 B. 等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆 D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧【解析】A.过圆心的弦是圆的直径，说法正确；B. 等弧的长度一定相等，说法正确；C. 周长相等的两个圆是等圆，说法正确；D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；【答案】D练习1. 车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ）A．同弧所对的圆周角相等B．直径是圆中最大的弦C．圆上各点到圆心的距离相等D．圆是中心对称图形练习2. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.圆周角定理【例2】（2014泉州中考）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠O=40°，则∠C=（ ） A. 20° B. 40° C.50° D.80°【解析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠C=∠O=20°。

解：∵圆心角∠O和圆周角∠C所对的是同一段弧；∴∠C=∠O=20°．【答案】A练习3. 如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（ ）A. 65° B. 25° C. 15° D. 35°练习4. （2014杭州金华中考）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（ ） A.34° B.56° C.60° D.68°3.直径所对的圆周角【例3】（2014广东肇庆一模）如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（ ） A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，再利用直角三角形两锐角互余求解即可，解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°．【答案】故选B．练习5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°练习6. 如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ）A.40° B.50° C.60° D.70°4.圆周角定理的简单应用【例4】（2014山东聊城一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径为（ ） A. B.2 C. D.4【解析】先利用圆周角定理求出∠AOB，再根据等边三角形的判定得到△AOB是等边三角形，从而得解。

答案】解：连接OA，OB，则∠AOB=2∠C=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，有OA=AB=2．故选B． 练习7．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（ ）A.30° B.60° C.90° D.45°练习8．（2014湖北湛江一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2= 度．5. 圆周角定理综合运用【例5】（2014鼎湖区一模）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 【解析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．【答案】解：∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64∴BC==8（cm）又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∴AD=BD又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2∴AD2+BD2=102∴AD=BD==5（cm）．练习9. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长练习10. 如图所示，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC． 【例6】（2014广东珠海一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cos∠PCB=，求PA的长.【解析】(1)要求△PAD是以AD为底边的等腰三角形，所以PA=PD，再利用P是中点这个条件，进而可以找到全等三角形，此问利用倒推即可得出结论；（2）给了余弦值，可以倒角把角度放到直角三角形中，所以过点P作PE⊥AD于E即可。

答案】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC∴PB＝PC∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA∴△PBD≌△PCA∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1∵∠PCB=∠PAD∴cos∠PAD=cos∠PCB=∴PA=练习11. 已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．练习12. 如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC= _________ 度，∠BPC= _________ 度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积． 1.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=400，则∠BOC的度数为 ( ) A. 200 B. 400 C. 800 D. 7002．以下命题中，正确的命题的个数是( ) (1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等． (3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( ) A. B. C. 或 D.a+b或a-b 4．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（ ） A.40° B.50° C.60° D.100° 6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ） A.6 B.5 C.3 D. 7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（ ） A.40° B.60° C.50° D.80°8．在半径为1的圆中，弦AB、AC的长是存和，则∠BAC的度数为________. 9．如图，扇形OAB中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C是线段AB的中点，CD//OA，交弧AB于点D，则CD= .10.已知：如图，在⊙O中，C.D是弦AB上的两个三等分点，求证：△OCD是等腰三角形。

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.下面三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等的圆心角所对的弧相等其中是真命题的是 （ ） A.①②； B.。