分块矩阵的初等变换及应用.doc

分块矩阵的初等变换及应用钱拓宽（绍兴文理学院 数学系，浙江绍兴312000 ）摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法 .在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到 事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结 性的工作.关键词：分块矩阵；初等变换；应用1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行（列）初等变换是指：（1） 交换两行（列）的位置；（2） 第1行（列）的各个元素分别左乘（右乘）该行（列）的一个以"阶（|（i）阶）左（右）保 秩因子H ；（3） 第1行（列）的各个元素分别左乘（右乘）一个h（i）阶（l（i）阶）矩阵K后加到第J行 定义2对应于分块矩阵（Aj）s沌的初等分块矩阵是指：(1) P(i + j(k)) =llss'EjjEnEh+'En ”+(2) R|(H) =H+或 Pk(H) =H+1 Ess」1 Eii 丿其中H为第1行（列）的一个左（右）保秩因子;⑴ R(i j(k)) =E「 K+ aEliEss■E11⑵或 Pk(i j(k))=EiiEii丿,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似 右两种.直接验算可得：定理1 (1)交换(Aj)s述的第i行与第j行,相当于左乘一个m阶初等分块矩阵 PijL ,其中%中的元素Eii为h (i)阶单位矩阵，Ejj为h (j)阶单位矩阵，当 r^i且r^j时,Err为h ( r )阶单位矩阵；交换(Aij)st的第i列与第j列相当于 右乘一个n阶初等分块矩阵 Rjk ,其中EH为1 (i)阶单位矩阵,Ejj为1 (j)阶单位矩阵当r^i且r^j时,Err为1 ( r )阶单位矩阵；(2) ( Aj)s t的第i行的每一个元素左乘一个矩阵H相当于 (Aj)s t左乘一个m阶分块矩阵P( H)中日为h ( i )阶方阵；(Aj)s>t的第i列的每一个元素右乘一个矩阵H ,相当于(Aj)s：4右乘一个n阶初等到变换矩阵 Pik(H),其中H为1 ( i )阶方阵；(3) ( Aj)s述的第j行的每个元素分别左乘一个h ( i ) xh ( j )矩阵K后加到第i行相当于(Aj)sx：左乘一个初等分块矩阵 PlU + j (k))；第j列的每一个元素分别右乘1 (j) xi ( i)矩阵k后加到第i列，相当于(Aj)st右乘Pk(r j(k)).#定理2设A为方阵，则分块矩阵(Aj) s t施行第一种行初等变换后,对应的行列式为#(_俨(i, j)其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+ l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+施行第二种初等变换后+h(j)[h(i)+h(i+j)+ , +h(j-l)],+l(j)[l(i)+l(i+j)+ , +l(J-l)],,对应的行列式为| H | • | A |;施行第三种初等变换后，对应的行列式的值不变证明：|P(H )| = |H|, P(i +j (k)) = |A 显然成立.下证Prl_| =( - 1)h (i，j) , Eii所在的第1行逐次与它相邻的行交换，移至Ejj前，共进行h(i )-1+ h ( i +1)+, +h ( j -1)次交换两行，第2行逐次与它相邻的行交换，移至Ejj前,同样进行相同次交换两行，依此类推，把Eii所在的行移至 Ejj所在的行前，共进行#h ( i )[ h ( i )-1+ h ( i +1)+ , +h ( j -1)]次交换两行，然后把Ejj移至适当的位置，同 理共进行h ( j )[ h ( i )+ h ( i +1)+, +h ( j -1)]次交换两行，所以交换两行的总次数 为h ( i , j ), 故j 盅(- 1)(i，j)；同理 RR (- 1)(i，j).A 或| ARik| = A • Rik| = (-1 )PiijA|=|Pij A=(-1) h(i,l)Pi(H)A=Pi(H)|a=|h *|A或|A|Pk(H)| 训Pl (i + j(k))A| = P (i + j(k) *|A=A|APk (i + j(k))| = A I Pk(i + j(k))| = A 定理3分块矩阵进行初等变换后，秩不变•证明：对于(1),相当于对A二⑻)m n进行若干次行定义1,显然成立；对于(3),相当于进行若干次把到另一行(列),故命题成立•定理4 (1)设A , B的行数均为m ,则矩阵方程AX所以有l (i,j)(列)的交换，故命题成立；对于(2),根据A = (aij )m n行(列)乘以一个倍数后加=B ,当 rank ( A )= 时有唯一解，当rank ( A )= rank ( A , B )< m时有无穷多解， 当 rank ( A )< rank (A, B )时无解；(2)设A , b的列数均为n ,则矩阵方程xa =b ,当rank ( A)= 有唯一解，当rank ( A)= rank( AT, BT) < n有无穷多解， 当 rank ( A )< rank( AT, BT)时无解•证明：(1) 设 rank ( A )= rank ( A , B )< m ,-__Ir O 1O O则存在可逆矩阵pB1 B2 =Po,Q,使rank ( A , B )= mrank( AT ,BT)=门时其中Ir为『阶单位矩阵，Bi为r阶方阵,设Xo则有：AX。

二P_Ir O IBzlB4」Bl二Qr I rQ= PloB2B4Q,B3 B4Bi B2PO OQ =B所以Xo为AX =B的解，其中当 rank ( A)= rank (A, B )= m时，A = P ( |mQ ；当 rankB3, B4是任意的B B2),显然，AX =E有唯一解：X二 Q (B, B2)o ) Q , B =((A)< rank ( a , b )时,ax =b无解.同理可证⑵成立(当rank ( A)=rank ( At ,定义3对于任意的U , V ,如果rank (Aj )= rankT IB )< n 时,X=P) 9(Aj , Av)= rank (OlOp‘)Aij , Aiv ),则称Aj为极大元•定理5分块矩阵(Aj)2 2可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是 ：它有一个极大元.证明：充分性.不妨设Aii为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到 第一行，第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵P , Q ,使_IrP 0」O Q 阳=p 0 O Q , 旦OAi2a'i=pp#令K =- PPJ,其中a3,A为适当阶数的任意矩阵.则第一行左乘K加到第二行得A11A111。

A12 =0,所以Aii0KA12 ' A22O1OQ ,所以（Aj）2 2A12 IKA12 + A22A12ka12 + a22.同理，令K/ =- Q，I的第一列右乘K'后加到第二列Q,##（如先进行列变换,再进行行变换,得A1A'1 A1A'2〕+ A22 = K'A21+A22,故两种运算顺序结果相同）因为 KA12 A22=-\A必要性.反证法，不妨设 rank ( Al1)工 rank ( A： , A；)或 rank ( A；, A；21)rank ( A21),A2A2#则由定理4， X A11 =- A21或X A21 =- A）1无解，从而不存在K ,使（Aj ）2x2对角化•同理， 当 rank （ A1）丰 rank（ A1, A2）或 rank（州，A2）丰 rank（ A^）时,不存在 k'使-A11 K =A12 或-A|2 K' = A）1 成立.定理5表明：并不是所有的2X2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化 ，如果分块矩阵没有极大元，则需分得更细，才能对角化•定理6矩阵Am n的一种分块方法（Aj）st可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是 存在s -1行且存在t -1列有极大元.证明：用数学归纳法•当s =t =1时，只有一块，命题成立；设s <2 .显然B11为极大元，根据定理4, （ Bj）2X2可以化成对角形：B O1,又 B11 -（Aj） e （f 4）, 它的每行、列都有极大，故由假设B11可以对O KB 21 B22角化，从而（Aj）（ e比对可以对角化.同理可证当S = e , t = f +1时，（Aj）e（ f4t）可以对角 化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块 人进一步化简的方法.设 A =pW O 】Q,Lj=W B1 P，与 r=q*r O ".根据定理 1,】O O」，'P B2」 R 匕C2 一Li, R为A'的左（右）保秩因子，显然也是A'所在行（列）的左（右）保秩因子，故对角化后的分块矩阵第i行、第i列分别左乘L',右乘R后,A,可以化成O讨论分块方阵行列式的计算 ，先讨论分块初等阵的行列式设I为Sx S分块单位阵：[r1 )+< Irs」其中I r i为r i阶单位阵(1 < i W S),对I施行一次初等变换可得定义 2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式 •引理分块初等阵的行列式有以下性质 ：(1) |l(i，j)l= (一1),其中 t =ri (r i+1+, +r j)+ r j (r j+1+, + r j-1)(i