【数 学】北师大版数学七年级上册章节知识总结-2024-2025学年.docx

第一章 丰富的图形世界1.1 生活中的立体图形1.生活中常见的几何体有：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等.2.圆柱：有上下两个底面，都是是圆，它们的大小相等，侧面是曲面.3.棱柱：（1）有上下两个底面，是多边形，它们的形状相同、大小相等，侧面是平行四边形棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面是长方形.（2）在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱.相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等.（3）一个n棱柱有（n+2）个面，2n 个顶点，3n条棱.（4）根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们的底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……4.圆锥：只有一个底面，底面是圆，侧面是曲面5.棱锥：只有一个底面，底面是多边形，侧面都是三角形棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……长方体和正方体都是四棱柱6.球：由球面围成的（球面是曲面）7.常见几何体的分类（不唯一）：按“柱锥球划”分8.几何图形是由点、线、面构成的.①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面.几何的表面有平面和曲面；②面与面相交得到线；③线与线相交得到点；④点动成线，线动成面，面动成体.1.2展开与折叠1.正方体的十一种展开图：第一类，1，4， 1型，共六种:第二类，2，3，1型，共三种:第三类，2，2，2型，只有一种: 第四类，3，3型，只有一种: 第一类:四个一行中排列，上下各一任意放，共六种.（记忆口诀：1 4 1）第二类:一在三上任意放，二在三下露一端，共三种.（记忆口诀：1 3 2）第三类:两两三行排有序，恰似登天上云梯，仅一种.（记忆口诀：2 2 2）第四类:三个三个排两行，中间一“日” 放光芒， 仅一种.（记忆口诀：3 3 ）一线不过四，田凹应弃之，相间、“Z”端是对面，间二、拐角相邻面。

2. 把一个n棱柱展开，需要剪开（2n-1）条棱. 3. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成.4. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成.1.3 截一个几何体1.截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.用一个平面去截圆柱，截面形状可能是：长方形、圆、椭圆等；用一个平面去截正方体，截面形状可能是：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形；用一个平面去截圆锥，截面形状可能是：三角形、圆、椭圆等；1.4 从三个方向看物体的形状1.会画小立方体搭成的图形的三视图. 由相同的小立方体搭成的立体图形，从它的正面看到的列数和从它的上面看到的列数相同，从它的正面看到的层数和从它的左面看到的层数相同，从它上面看到的行数和从它的左面看到的列数相同.2.一些常见几何体的三视图第二章 有理数及其运算2.1 有理数1.正、负表示两个具有相反意义的量.2.有理数（1）有理数的定义：整数与分数统称为有理数2）有理数的分类按定义分： 按符号分：2.2 数轴1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）.2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）3.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.2.3 绝对值1.如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.（0的相反数是0）2.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等.3.绝对值的定义：一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作|a|.4.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 或 或 5.绝对值的性质：①除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；②互为相反数的两数绝对值相等；③任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0；④若|a|=b，则a=±b.6.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小.比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.2.4 有理数的加法1.有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.2.加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用.加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3.灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数先相加，“相反数结合法”；②符号相同的数先相加，“同号结合法”；③分母相同的数先相加，“同分母结合法”；④相加能得到整数的数先相加，“凑整法”；⑤带分数相加时，先拆成整数和真分数的和，再利用加法的运算律相加，“拆项结合法”.2.5 有理数的减法1.有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数.2.有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）.3.有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律，按照运算法则变成加法后，按照加法的运算步骤进行运算.2.6 有理数的加减混合运算1.加减法统一成加法：在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化成加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算.2.省略加号和括号的代数和：在一个和式里，可以把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略括号和加号的和的形式.3.有理数的加减法混合运算的步骤：①利用减法法则将减法转化成加法；②把算式写成省略加号和括号的和的形式；③利用加法则，加法交换律、结合律简化计算.2.7 有理数的乘法1.有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数与0相乘，积仍为0.2.有理数相乘的相关结论①一个数乘1等于它本身，一个数乘-1等于它的相反数；②若a,b同号，则ab>0,反之，若ab>0，则a,b同号；若a,b异号，则ab<0,反之，若ab<0，则a,b异号.3.倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.（如：-2与- 、 …等）4.倒数的应用技巧①若ab=1，则a,b互为倒数；若a,b互为倒数，则ab=1；②倒数等于它本身的数为±1,0没有倒数；③互为倒数的两个数的符号相同;④求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置.求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后再把分子分母颠倒位置.5.乘法法则的推广：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正，即“奇负偶正”.6.乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用.7.有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积.2.8 有理数的除法1.有理数除法法则：①法则（一）：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0.0不可作为除数，否则无意义.②法则（二）：除以一个数等于乘这个数的倒数.2.除法法则的使用：①如果被除数和除数都是整数，且能整除，那么一般选用除法法则（一）进行计算，先确定商的符号，再将绝对值相除.②如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或被除数和除数中有小数或分数，那么一般选用除法法则（二）进行计算.运用除法法则（二）时，可以分两步进行：一是将除号变乘号，将除数变为其倒数；二是运用有理数乘法法则进行计算.3.有理数的乘除混合运算的注意事项：（1）同级运算从左往右依次进行；（2）可把小数化为分数，带分数化为假分数；（3）注意约分，结果化为最简分数或者整数.2.9 有理数的乘方1.有理数的乘方：一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即 指数底数幂这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂或a的n次方.注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数.2.乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何正整数次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.;⑦当两个非0的数互为相反数时，它们的偶次幂相等，奇次幂互为相反数.3.偶次幂非负性的运用：（1）常见的非负数：①|a|≥0，②a2n≥0(n为正整数)；（2）若|a|+b2n=0，则|a|=0，b2n=0，即a=0,b=0.2.10 科学记数法1.科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.2.注意：（1）确定a的方法，将原数的小数点移到左边第一个不是0的数字后边即可得到a的值.（2）确定n的方法：①用整数的位数来确定n，n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n，小数点向左移动了几位，n就等于几.（3）用科学记数法表示以“万”“亿”等为单位的数时，先将它们进行转化，再写成用科学记数法表示的数，其中“万”可转化为104，“亿”可转化为108.2.11 有理数的混合运算1.有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减；如果有括号,先算括号里面的.2.有理数混合运算的常用技巧：（1）巧转化：将小数与分数、乘法与除法互相转化；（2）巧分解：将一个数分解成几个数的和（或差）或分解成它的因数的积；（3）巧逆用：逆用乘法对加法的分配律；（4）巧分段：借助混合运算中的加减号或括号分段计算.第三章 整式及其加减3.1 字母表示数1.字母可以表示任何数.这里的“任何数”包含正数、0和负数.2.用字母表示数的特点：（1）任意性：字母可以表示任意的数或式子；（2）限制性：字母的取值应使具体的式子有意义且符合实际情况；（3）确定性：字母的取值一旦确认，式子的值也随之确定；（4）一般性：用字母表示数能更准确地反映事务地规律，更具有一般性；（5）一致性：同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示.3.2 代数式1.代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以。