高中学科模拟考试试卷230575.doc

第二章 推理与证明课时作业 新人教A版选修1-21　合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．一、归纳推理的考查1．数字规律周期性归纳例1　观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为(　　)A．3125 B．5625 C．0625 D．8125解析　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52 013＝54502＋5末四位数字为3125.答案　A点评　对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．2．代数式形式归纳例2　设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.答案　点评　对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳例3　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378分析　将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．解析　设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝.而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.答案　C点评　此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．二、类比推理的考查1．类比定义在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．例1　等和数列的定义是：若数列{an}从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{an}是等和数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的一个通项公式是________．解析　由定义，知公和为4，且an＋an－1＝4，那么an－2＝－(an－1－2)，于是an－2＝(－1)n－1(a1－2)．因为a1＝1，得an＝2＋(－1)n即为数列的一个通项公式．答案　an＝2＋(－1)n点评　解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解．2．类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．例2　平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①______________________________________________________；充要条件②____________________________________________________.解析　类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．点评　由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性．3．类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．例3　已知数列{an}的前n项的乘积Tn＝3n＋1，则其通项公式an＝________.解析　类比数列前n项和Sn与通项an的关系an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到数列前n(n≥2)项的乘积Tn与通项an的关系．注意对n＝1的情况单独研究．当n＝1时，a1＝T1＝31＋1＝4.当n≥2时，an＝＝，a1不适合上式，所以通项公式an＝.答案　.2　各有特长的综合法与分析法做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”．例1　已知a>b>c，求证：＋＋≥0.分析　首先使用分析法寻找证明思路．证法一　(分析法)要证原不等式成立，只需证＋≥.通分，得≥，即证≥.因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0.只需证(a－c)2≥4(a－b)(b－c)成立．由上面思路可得如下证题过程．证法二　(综合法)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.∴4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2.∴≥，即－≥0.∴＋＋≥0.从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．例2　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f(x＋)为偶函数．证明　方法一　要证f(x＋)为偶函数，只需证f(x＋)的对称轴为x＝0，只需证－－＝0，只需证a＝－b.因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，所以－－1＝－，所以a＝－b，所以f(x＋)为偶函数．方法二　要证f(x＋)是偶函数，只需证f(－x＋)＝f(x＋)．因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x＋1)，f(－x＋)＝f(－(x－))＝f((x－)＋1)＝f(x＋)，所以f(x＋)是偶函数．点评　本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.3　体验反证法的独到之处反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型：1．证明否定性问题例1　平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．分析　假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．证明　假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A，B，C，D.考虑△ABC，则点D有两种情况：在△ABC内部和外部．(1)如果点D在△ABC内部(如图(1))，根据假设知围绕点D的三个角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾．(2)如果点D在△ABC外部(如图(2))，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90，即四边形ABCD的内角和小于360，这与四边形内角和等于360矛盾．综上所述，可知假设错误，题中结论成立．点评　结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法．2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题例2　A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常数L(0