九年级数学上册-一元二次方程（综合题有难度）专题培优训练100题【含答案】.docx

一、实践探究题1．阅读材料：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2则x1+x2=−ba，x1x2=ca.材料2：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求nm+mn的值.解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=−1，所以nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=　 　，x1x2=　 　.（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值.（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1.求2st+7s+2t的值.2．阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1.根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数a，b满足：a2−7a+1=0，b2−7b+1=0且a≠b，则a+b=　 　，ab=　 　；（2）间接应用：在（1）条件下，求1a+1b的值；（3）拓展应用：已知实数x，y满足：1m2+1m=7，n2−n=7且mn≠−1，求1m2+n2的值.3．阅读材料并回答下面的问题：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0①，我们可以将x2﹣1看成为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0，解得：y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝± 2 ；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± 5 ；∴原方程的根为：x1＝ 2 ，x2＝﹣ 2 ，x3＝ 5 ，x4＝﹣ 5 ．在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．请利用以上方法解方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0；（2）（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0．4．阅读材料，并回答问题：下面是小明解方程x2+4x−2=0的过程：解：移项，得x2+4x=2． ①配方，得x2+4x+4=2，②(x+2)2=2． ③由此可得x+2=±2， ④x1=2−2，x2=−2−2．⑤（1）小明解方程的方法是____；A．直接开平方法 B．配方法C．公式法 D．因式分解法（2）上述解答过程中，从第　 　步（填序号）开始出现了错误，原因是　 　；（3）请你写出正确的解答过程．5．阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是　 　．（2）解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0 （1），解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．请你用 （2）中的方法求出方程(x2+x)2−2x2−2x=8的实数解．6．阅读材料：为解方程 (x2−1)2−5(x2−1)+4=0 ，我们可以将 x2−1 看作一个整体，设 x2−1=y…①，那么原方程可化为 y2−5y+4=0 ，解得 y1=1 ， y2=4 ，当 y=1 时， x2−1=1 ， ∴x2=2 ， ∴ x=±2 ；当 y=4 时， x2−1=4 ， ∴x2=5 ， ∴ x=±5 ，故原方程的解为 x1=2 ， x2=−2 ， x3=5 ， x4=−5 ． 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：（1）x4−x2−6=0 ． （2）(x2+x)2+(x2+x)=6 ． 7．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。

他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2·x×1+12，即x2+2x+ 1，而由原方程x2+2x-35=0变形得x2+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)2=36，则x=5．任务：（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（　　） A．直接开平方法 B．公式法C．配方法 D．因式分解法（2）所用的数学思想方法是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想C．建模思想 D．整体思想（3）运用上述方法构造出符合方程x2+6x-7=0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．8．【阅读材料】解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们发现：先将x－1看作一个整体，然后设x－1＝y.……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，则x＝2；当y＝4时，x－1＝4，则x＝5，故原方程的解为x1＝2，x2＝5.上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了“换元法”达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）请利用以上知识解方程：(3x＋5)2－4(3x＋5)＋3＝0；（2）在△ABC中，∠C＝90°，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求斜边c的长．9．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程(x2)2−13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2−13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，由书达定理可知m+n=1，mn=−1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x4−5x2+6=0的解为　 　；（2）间接应用：已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，2b4−7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展应用：已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2−n=7且n>0，求1m4+n2的值．10．阅读下列材料：为解方程 x4−x2−6=0 可将方程变形为 (x2)2−x2−6=0 然后设 x2=y ，则 (x2)2=y2 ，原方程化为 y2−y−6=0①，解①得 y1=−2 ， y2=3 .当 y1=−2 时， x2=−2 无意义，舍去；当 y2=3 时， x2=3 ，解得 x=±3 ；∴原方程的解为 x1=3 ， x2=−3 ； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题.利用以上学习到的方法解下列方程：（1）(x2−2x)2−5x2+10x+6=0 ； （2）3x2+15x+2x2+5x+1=2 . 11．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ ba ，x1x2＝ ca .材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 nm+mn 的值.解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1 ＝﹣3.根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　.（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1.求 st+4s+1t 的值. 12．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m＋n＝1，mn＝－1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：解方程：x4－x2－6＝0．（2）间接应用：已知实数m，n满足：m2－7m＋2＝0，n2－7n＋2＝0，求nm+mn的值．（3）拓展应用：已知实数x，y满足：4x4−2x2=3，y4+y2=3，求4x4+y4的值．二、综合题13．2016 年，某市某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售，因为楼 盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米6480元（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2019年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房， 他持有现金20万元，可以在银行贷款40万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算）14．已知方程x2﹣4x＋m＝0.（1）若方程有一根为1，求m的值；（2）若方程无实数根，求m的取值范围.15．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0，求m的值．16．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点.抽样调查显示，截止2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2019年底全市汽车拥有量为10万辆.（1）求2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）按照这个增长速度，2022年底全市汽车拥有量为多少辆？17．某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式．当特色小吃以“外卖”方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%．（注：收入＝销售额﹣服务费）根据以上信息，解决下列问题：（1）10月份，该餐馆需额外支付的服务费为　 　元，该月收入为　 　元；（2）经调研，该餐馆在10月份“堂食”600份销量的基础上，“堂食”价格每提高1元，“堂食”的销量就减少5份，但提高后的价格不能超过30元/份；“外卖”价格始终保持不变．该餐馆计划11月份只做800份特色小吃，预计全部售完．问“堂食”如何定价，11月份的收入是10760元？18．某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售。