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基于三阶平面贝齐尔曲线的G2 连续研究 摘　要】飞机外形设计中，当单一的曲线不能满足描述复杂形状的需要时，就必须采用组合的曲线，这就需要解决的关键问题就是怎样实现光滑连接的问题，工程实践中，G2连续的组合曲线受到了特别的关注过渡连接时，常用的二次曲线难以在两端均实现G2连续，这就有必要构造其他形式的曲线来实现G2连续，通过控制三次贝齐尔曲线首末端点曲率，得出了该三次贝齐尔曲线与直线、曲线保持G2连续的方法关键词贝齐尔曲线；飞机外形设计；G2连续Bziercurve;Aircraftshapedesign;G2continuousness0　引言飞机外形设计中，曲线的光顺与否不仅关系到飞机外形曲面的美观，更重要的是曲线的光顺将直接影响飞机的气动性能，为此，必须尽可能的获得光顺的曲线以保证飞机外形的曲面质量为保证曲面品质，需要在连接处均实现G2连续，二次曲线由于阶次的限制，不能保证两端均与其他曲线G2连续，而阶数过高的贝齐尔曲线，由于定义点过多，定义点的计算非常繁琐且解不唯一，其形状难以控制三阶贝齐尔曲线是很好的折衷，既可以实现G2连续的过渡连接，也能保证解的唯一性1　贝齐尔曲线介绍贝齐尔是参数多项式曲线，其定义形式如下：2　构造过渡曲线本文利用三阶平面贝齐尔曲线连接，见图1。

图1中，利用三阶平面贝齐尔曲线p(t)过渡连接l1、l2，在P0点与l1连接，在P3点与l2连接，那么p(t)的起点P0和终点P3的位置是固定的为了完整、唯一定义该三阶贝齐尔曲线，还要确定其他两个点P1、P2的位置根据贝齐尔曲线的根本性质，必须与l1在P0点的切矢方向同向，也就是说，为与l1相切，P1点只能在P0点的切线上“滑动〞，同样，P2点只能在P3点的切线上“滑动〞，这样就进一步限制了P1、P2的位置范围，下面进一步讨论曲率连续的条件对于任意参数曲线p(t)，曲率τ由下式表示【2】：令逆时针旋转到的角度为α，下文将就工程中常用的α情况利用G2连续的条件给出P1、P2的位置确定方法2.1　0图3是0方程组〔14〕满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P1、P2的位置2.2　180图4是180α=180时，直线P0P1和P3P2平行，见图5此外，α=0〔α=３６０〕时，同样有直线P0P1和P3P2平行，但此时，特征多边形不是凸多边形，本文不予讨论另外，对于一端或两端有直线，即τ=0的情况，本文限于篇幅，将在中讨论3　连接实例以2.2情况为例，利用三阶贝齐尔曲线连接任意两条曲线，见图6。

此时P0点处曲率τ0=0.0045，P3点处曲率τ1=0.0025，代入方程组〔19〕迭代求解得到由曲率分析图可以看出，三阶贝齐尔曲线在连接点处实现了G2连续，保证了曲线的连接质量4　结论本文通过求解端点处的贝齐尔曲线曲率，构造了不同情况下实现G2连续的三次平面贝齐尔曲线，构造方法简捷，实现了三次贝齐尔曲线与直线和曲线的G2连续，保证了曲线连接的品质，在飞机外形设计中具有实际的应用价值参考文献［１］施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条.高等教育出版社,2021:18-26,114-143.［２］苏步青,刘鼎元.计算几何.上海科学技术出版社,1980:102-108.［３］曹喜锋.飞机外形数字化设计技术研究.西安:西北工业大学,2021,10.［４］吉贝德芒热,让皮尔晡热.曲线与曲面的数学.王向东,译.商务印书馆,2000:5-70.。