2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数2+3im−i∈R，则实数m=(    )A. −32 B. −23 C. 23 D. 322.已知集合A={0,1,2,3,6}，B={x|x−1∈A}，则∁A(A∩B)=(    )A. {0,6} B. {3,6} C. {−1,5} D. {0,1,2}3.在△ABC中，tanA=2，tanB=3，则C=(    )A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°4.函数f(x)=x(x−3)2的极大值为(    )A. −4 B. 0 C. 1 D. 45.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC=(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 26.曲线y=2sinx与y=sin(x−π3)的交点中，与y轴最近的点的横坐标为(    )A. −5π6 B. −π6 C. π6 D. 5π67.在▱ABCD中，AM=MB，BN=2NC，AP=xAB+(1−x)AD，x∈R.若AP//MN，则x=(    )A. 17 B. 0.06×0.250.0525=27 C. 37 D. 478.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为(    )A. 32 B. 2 C. 52 D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.在空间中，设a，b，c是三条直线，α，β，γ是三个平面，则下列能推出a/​/b的是(    )A. a⊥c，b⊥cB. a//α，a⊂β，α∩β=bC. α⊥γ，β⊥γ，α∩γ=a，β∩γ=bD. α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，a//c10.已知函数f(x)=cosxcos2x，则(    )A. f(x)的最大值为1 B. (π2,0)是曲线y=f(x)的对称中心C. f(x)在(0,π2)上单调递减 D. f(x)的最小正周期为2π11.设f(x)为R上的增函数，满足：f(1+x)+f(1−x)=2，f(2+x)+f(2−x)=4，则(    )A. f(3)=3 B. f(x)为奇函数C. ∃x0∈R，f(x0)=x0+1 D. ∀x∈R，f(ex+1)−f(x)≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一个单调减区间为[−π12,5π12]，则ω=          ，φ=          ．13.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=lnx上的两点A，B满足OA⊥OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为______．14.已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且AB=OC=1，则AB⋅AC的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC+ 3asinC=b+c．(1)求A；(2)若△ABC的面积为 3，周长为6，试判断△ABC的形状．16.(本小题15分)设抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H．(1)△PFH能否为正三角形？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：∠PFQ=90°．17.(本小题15分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，D是AC的中点，平面PBD⊥平面PAC，且AB=AC=AP=2．(1)求点A到平面PBD的距离；(2)求平面PAC与平面PBC的夹角的正弦值．18.(本小题17分)已知函数f(x)=x2+acosx，其中a∈R．(1)若曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线过原点，求a；(2)当a=1时，证明：f(x)≥x+1−sinx；(3)若f(x)在[0,π]上单调递增，求a的取值范围．19.(本小题17分)如果数列a1，a2，a3，…，am(m≥4)是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列a1，a2，a3，…，am是Pm数列．(1)写出所有满足a4=7的P4数列；(2)证明：存在P4数列是等比数列，且有无穷个；(3)对任意给定的a5(a5≥t)，都存在a2，a3，a4，使得数列a1，a2，a3，a4，a5是P5数列，参考答案1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B 9.BD 10.ABD 11.ABD 12.2；2π3 13.12(e+1e) 14.−12 15.解：(1)由已知及正弦定理，可得sinAcosC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，又B=π−(A+C)，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，则上式可化为 3sinAsinC=sinCcosA+sinC，又△ABC中，00，则上式可化为 3sinA=cosA+1，即sin(A−π6)=12，又−π60，即ℎ′(x)>0恒成立，则ℎ(x)在R上单调递增，且ℎ(0)=0，当x<0时，ℎ(0)<0，即g′(x)<0；当x>0时，ℎ(0)>0，即g′(x)>0；可知g(x)在(−∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，则g(x)≥g(0)=0，所以f(x)≥x+1−sinx．(3)若f(x)在[0,π]上单调递增，当a=0，则f(x)=x2在[0,π]上单调递增，符合题意；当a<0，则f(x)=x2−acosx在[0,π]上单调递增，符合题意；当a>0，由(1)可知：f′(x)=2x−asinx，则f′(x)≥0在[0,π]上恒成立，设F(x)=f′(x)，则F′(x)=2−acosx，且F(0)=0，则F′(0)=2−a≥0，解得a≤2，若0