2024-2025学年四川省泸州市江阳区高二（下）期中数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年四川省泸州市江阳区高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知函数f(x)=ex，则函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为(    )A. x−y+1=0 B. x−y−1=0 C. y−1=0 D. x−1=02.已知(1−x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则a1+a3+a5=(    )A. 16 B. 332 C. −16 D. −3323.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，则S7−S4a4+a8=(    )A. 2 B. 32 C. 1 D. 124.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(    )A. B. C. D. 5.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值，则实数c的值为(    )A. 2 B. 2或6 C. 6 D. 4或66.现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人组，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是(    )A. 50 B. 80 C. 120 D. 1507.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{an}，其将满月等分成240份，ai(1≤i≤15且i∈N∗)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a1=5；第15天为满月，即a15=240.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则a5=(    )A. 40 B. 80 C. 96 D. 1128.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前46项和为(    )A. 4080 B. 2060 C. 2048 D. 2037二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有(    )A. 若甲和乙相邻，共有48种排法 B. 若甲不排第一个，共有96种排法C. 若甲与丙不相邻，共有36种排法 D. 若甲在乙的前面，共有60种排法10.下列说法正确的是(    )A. 若a=5+2 6，b=5−2 6，则a，b的等比中项为±1B. 若数列{an}是等比数列，公比为q，Sn为其前n项的和，则“q=12”是“a3=32，S3=92”的充要条件C. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n也成等比数列D. 在等差数列{bn}中，若b2025=0，则b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b4049−n(n∈N∗,n<4049)成立11.定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得(    )A. f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱减函数”B. f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”C. 若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”，则m≥eD. 若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，则23π≤k≤1π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选，甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的14,14,12，若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的是艺术生且是甲班艺术生的概率为______．13.某容积为128π的一个圆柱形封闭铁皮容器，为使制作一个此容器时消耗材料最少(材料厚度不计).该容器底面半径应设计为______．14.关于x的不等式xeax+bx−lnx≥1(a>0)恒成立，则ba的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知(2x+13x)n展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为34．(1)求n的值；(2)求展开式中有理项的系数之和.(用数字作答)16.(本小题15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=30，a5=10．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn=an,1≤n≤104anan−1,n≥11，求数列{bn}前20项的和T20．17.(本小题15分)设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①，有两根x1，x2，则方程可变形为a(x−x1)(x−x2)=0，展开得ax2−a(x1+x2)+ax1x2=0②，比较①②可以得到x1+x2=−bax1x2=ca，这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三个根x1，x2，x3，则有x1+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da③.(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)．(i)若b=a+32且f(x)有3个零点，求a的取值范围；(ii)若f(x)有两个零点，其中一个零点大于0，另一个零点大于−2且小于0，求a+b的取值范围．18.(本小题17分)已知数列{an}的首项a1=35，且满足2anan+1+an+1=3an．(1)求证：数列{1an−1}为等比数列；(2)求数列{1an}前n项和为Sn；(3)设bn=2an1−an⋅(23)n，在bn和bn+1之间插入n−1个数，使这n+1个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为cn，求数列{1cn}的前n项和Tn，证明：12≤Tn<2．19.(本小题17分)已知函数f(x)=−cosx，g(x)=x22−1,x∈[0,+∞)．(1)判断g(x)≥f(x)是否成立，并给出理由；(2)①证明：当0cosn；②证明：当ai=12i(i∈N∗),ki=f′(ai+1)−f′(ai)ai+1−ai(i=1,2,…,n−1)时，i=1n−1ki>6n−76．答案解析1.【答案】A 【解析】解：因为f(x)=ex，所以f′(x)=ex，所以f(0)=1，f′(0)=1，所以所求切线方程为y=x+1，即为x−y+1=0．故选：A．根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．本题考查函数的额切线方程的求解，属基础题．2.【答案】C 【解析】解：设f(x)=(1−x)5，则f(1)−f(−1)=2(a1+a3+a5)=−32，所以a1+a3+a5=−16．故选：C．由已知利用赋值法即可求解．本题主要考查了赋值法的应用，属于基础题．3.【答案】B 【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，S7−S4a4+a8=a5+a6+a7a4+a8=3a62a6=32，故选：B．根据题意，分析可得S7−S4a4+a8=a5+a6+a7a4+a8，结合等差数列的性质分析可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n项和，属于基础题．4.【答案】B 【解析】解：由导数的图象可得，导函数f′(x)的值在[−1,0]上的逐渐增大，故函数f(x)在[−1,0]上增长速度逐渐变大，故函数f(x)的图象是下凹型的．导函数f′(x)的值在[0,1]上的逐渐减小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数在某一点取得极值的条件，是中档题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于0，注意这个条件的应用．根据函数在x=2处有极小值，得到f′(2)=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．【解答】解：∵函数f(x)=x(x−c)2，∴f′(x)=3x2−4cx+c2，又f(x)=x(x−c)2在x=2处有极值，∴f′(2)=12−8c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，故选：A．6.【答案】D 【解析】解：将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人组，每人至少分得1本，则将5本书分为1，1，3或1，2，2三组，共有C51C41A22+C52C32A22=10+15=25组，则分给甲乙丙3人，共有25A33=150种．故选：D．先将5本书分为1，1，3或1，2，2三组，再分给3个人，结合排列组合相关知识可解．本题考查排列组合相关知识，属于中档题．7.【答案】B 【解析】解：依题意，有a5=a1q4=5q4，a15=a5+10d=5q4+10d=240，q=1时，d不是正整数；q=2时，d=16；q≥3时，5q4≥405，d不是正整数．所以q=2，d=16，a5=a1q4=80．故选：B．由已知条件和等比数列等差数列的性质，得5q4+10d=240，又q，d均为正整数，求解q的值得a5．本题考查等差数列，等比数列的通项公式，属于中档题．8.【答案】D 【解析】解：杨辉三角的第n行的和为2n−1，(n=1,2,……)，故前n行的和为Sn=1−2n1−2=2n−1，每一行的个数为1，2，3，…，可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则Tn=n(n+1)2，当n=11时，T11=11×122=66，去除两端的1可得66−21=45，则此数列的前46项的和为：S11−21+11=211−1−21+11=2037．故选：D．求得杨辉三角的第n行的和，可得前n行的和．分析每一行的个数，由等差数列的求和公式得到数列的前46项的和．本题考查数列在实际问题中的运用，以及等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD 【解析】解：甲、乙、丙等5人排成一列，对于A：若甲和乙相邻，利用捆绑法可得不同的排法有A22⋅A44=48种，故A正确；对于B：5人全排列有A55=120种排法，又甲排第一个有A44=24种排法，则若甲不排第一个共有96种排法，故B正确；对于C：现将除甲丙之外的三人进行全排列有A33=6种排法，再将甲丙进行插空，则不同的排法有6×A42=72种排法，故C错误；对于D：5人全排列有A55=120种排法，甲在乙的前面和乙在甲前面排法一样多，则甲在乙的前面，共有60种排法，故D正确．故选：ABD。