2022年第四章可测函数.docx

第四章 可测函数 教学目的 ：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过 Egoroff 定理证明 Lusin 定理,它表明 Lebesgue 可测函数 可以用性质较好的连续函数逼近 . 3.掌握几乎处处收敛 ,依测度收敛和几乎一致收敛， 以及几种收敛性之 间的蕴涵关系 .通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关 系有一个较全面的了解 . 重点难点 ：1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性 . 2.可测函数可以用简单函数逼近 ,这是可测函数的构造性特征 . 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性 .一方面 , L 可测集上的连续函数是可测的 可测函数可以用连续函数逼近 4.依测度收敛是一种全新的收敛,另一方面 ,Lusin 定理表明 , Lebesgue . Lusin 定理有两个等价形式 . ,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系 .Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁 .§4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.R,xD:f(x)记D设 f 是可测集D 上的函数 ,若对任何是可测集 ,则称 f 是可测集 D 上的可测函数 . 我 们 知 道 ,f 在D 上 连 续R ,xD:f(x )、x D : f ( x ) 都是开集 .所以由可测函数的定义数 f 是可测函数 . ,区间 D 上的连续函又如 :设 E 是 D 的可测子集 .则 E 上的特征函数为由于f(x)E(x ):1x )xEE0xDDxDf(1E01f. 类 似 , D0是可测集 ,所以E 是D 上的可测函数 .即定理 4.1.1 可测集的特征函数是可测的. 今 后 , 在 不 致 混 淆 时 , 将xD:f(x )简 记 为f、f、 f、 f、 f等的意义同上 . 问:定义中 f可否换成 f?答:可以. 定理 4.1.2 设函数 f 定义在可测集 D上,则下面四件事等价 . (i) f 在 D 上可测 ; (ii) 对任何 R, f 可测; (iii) 对任何 R, f 可测; (iv) 对任何 R, f 可测. 其证明就是利用集合的运算 . 证明 : (i)(ii) fn1f1, 由 (i), f1可 测 , 从 而0, 取k ,nnn1f1可测 ,即 f可测.同理可证 ab0 ,abn(ii)(iii)fDf(iii)(iv)fn1ff1证明 :“”abb, 设abkn(iv)(i) fD“” (反 证 ) 若ab(i)f定理 4.1.3 设函数 f 和 g 都是可测集 D 上的可测函数 ,则 a b k a b、 f 、 f 、 f 、 f 都是可测集 ,其中,是广义实数 . (ii)fg是可测集 . 证明 : (i) 先设是实数 ,则 fff是可测集 ; 若,则 fn 1fn可测; 若,则 fn 1fn可测 . 可见, 对任何广义实数, f是可测集 . 对于其它集的可测性由定理3.1.2 与集合的运算立即可得 . (ii) 分析 :fgx ,使f(x )g(x),若f( x )1,则g( x ),可,不管怎样 , f 、 g 之间可以插进有理数 .即:若nrn是有理数全体 ,则再利用函数fgn 1frnrng,即fg是可测f 和 g 都是可测函数 ,可得右侧为可测集集. 在数学分析中 ,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭 ,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续 ,否则未必 . 0]1,.x11y1x如:fn(x)xn,x[fn(x)f(x )10x00不连续 .而可测函数对于极限运算是封闭的 性. ,这点也体现了它的优越定理 4.1.4 设 f nx ) n 1 是可测集 D 上的一列可测函数 ,则函数supn 1 fn ( x )、infn 1 f n ( x )、limn f n ( x )、limn f n ( x ) 都是可测函数 . 证明 :任取 R,则 {sup f n ( x ) } { fn ( x ) } 可测 .(此等式表明n 1 n 1至少有一个 f n (x ) ,否则都 ,就说明 为上界 ,由上确界是最小上界,便会得出 sup f n ( x ) ) n 1{ inf n 1 f n ( x ) }n 1 { fn ( x ) } 可测. (至少有一个 fn (x ) ,否则都 , 为下界 ,其最大下界 infn 1 f n ( x ) ) 再 由 limn f n ( x ) inf n 1 supk n f k ( x ) 、 limn f n ( x ) supn 1 inf k n fk ( x ) 知 lim n f n ( x ) 、lim f n ( x ) 都是可测函数 . n( x n 的 上 极 限 lim n x n inf n 1 supk n x k , supk n x k ; x n 的 下 极 限limn x n supn 1 infk n x k , inf k n x k ) 实变函数的第一个“ 差不多” 是可测集与开集、闭集差不多 ;第二个“ 差不多” 就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“ 差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭 . § 4.2 可测函数的其它性质设 D 是可测集 , p ( x ) 是一个与 D 中每一点有关的命题 .若除了 D 的一个零测子集 E 外,使 p ( x ) 对每一 x D E 都成立 ,则称 p (x ) 在 D 上几乎处处成立 ,用 a.e.表示.(即 almost everywhere). 例如 , sin n x 在 R 上几乎处处收敛于 0 或说 lim n sin nx 0 a.e.在 R(因为只有 x k 时,极限不为 0,其为可数集 ,当然为零测集 );Cantor 集2上的特征函数 C ( x ) 0 a.e.在 [ 0 ]1, (因为 Cantor集为零测集 ). 若说 f (x ) 在 R 上 a.e.有限,意即 f ( x ) 不有限的点的集合为零测集 . 为讲第二个“ 差不多”,先讲连续函数 ,其值域为区间 . 数学分析中求 R 积分时 ,把曲的变成直的 , ,,nanE1 E2E3E6En并称其为阶梯函数 ,此处我们称为简单函数 , a1a2a3a4a5它是由特征函数决定的 . 设 f 是可测集 D 上的一个函数 ,若f(D)是由有限个实数a ,a ,⋯ ,a 组成,并且EkxD:f(x)akk1 2,都是可测集 ,则我们称 f 是 D 上的一个简单函数 .由此 f 可以表示为其中Ek(x)可记作k( x ),为f(x )n1a kEK(x )kE 上的特征函数 . 由可测函数定义 ,简单函数都是可测的 .(定理 3.3.4 至多可数个可测集之并可测 ). 易知 ,若 f 、 g 都是简单函数 ,则f 、| f 、 fg 、fg、fg等都是简单函数 (因其值域是有限个实数 ),当然都是可测的 . 下面说明可测函数一定是简单函数的极限 . 定理 4.2.1 设 f 是可测集 D 上的可测函数 ,则有 D 上的简单函数列 k k 1 ,使对每一 x D , k ( x ) f ( x ) ,此外(i) 当 f 0 时,可使上述 k k 1 满足对每一 x D , k k 1 单增收敛于f (x ) ; (ii) 当 f 有界时 , 可使上述 k k 1 在 D 上一致收敛于 f . (即对任何 0 ,有 K , k K ,有 | k ( x ) f ( x ) | ) 提问 :试举例说明 ,一列函数在每一点都收敛于 f (x ) ,但不一致收敛. 答:如fk(x)xkD[0 ]1,,则f( x )1x11,这时fk(x )在每一00x点都收敛 ,但不一致收敛 .其原因是极限函数不连续. 上述定理说明 ,可测函数和简单函数“ 差不多” .通过上图 ,我们形象的描述一下上述定理的证明思路 . 第一次 :在-1 和 1 之间取阶梯函数 ,每段长 1 ; 2第二次 :在-2 和 2 之间取阶梯函数 ,每段长 1 ,其中-1 和 1 之间是2将第一次的段分一半 ,分细了 ,这段的一部分向上移了 ,所以-1 和 1 之间的第二个阶梯函数部分比第一个大⋯ ⋯ ,即1 f ( x ) 11x ) k1 1 k1 1f ( x ) k1 k 1 0, ,1, 22 2 21 f ( x ) 1( k 的取法可由中间一段得出 ,因此时 f (x ) 必在-1 和 1 之间,左等右不等 ,由 k1 1 1 得 k 1 ,由 k1 1 得 k 2 ,所以 k ,1 0 1, 2, .第二次 k的取法类2 2似). 2f(x)2单2x)k21k21f(x。