2021年专插本高等数学例题和习题ch5常微分方程.docx

精品资料 欢迎下载第五章 常微分方程（简记 ODE ）本章主要学问点可分别变量的 ODE一阶线性非齐次常微分方程及推广二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程一些特别类方程一、可分别变量的 ODE1．基本型的解法基本型：dy G〔 x〕H dx〔 y 〕基本解法：dy G 〔 x〕 dx H 〔 y〕dy G 〔x〕dx H 〔 y〕例 5.1 ． dydxe x y , y〔0〕 1解： e y dy e x dxye dyxe dx通解为： eye x c将 x 0, y1 得：c e 1得 e ye x e 1例 5.2 ． 〔1y〕 y y lnxdx〔1 y 〕dy解：y1〔 1〕dy yln xdxln xdx ，得： ln | y |y x lnx x C例 5.3 ． 1x2 〔1y〕dyx〔1y2 〕dx精品资料 欢迎下载解： 〔1y〕dyx dx ， 〔1y〕dy x dx1 y2 1 x21 y21 x2得： arctan y1 ln 1 y22x1 x2 C例 5.4．已知f 〔 x〕 满意f 〔 t〕 dt0〔 x 1〕 f(x) 1，求f 〔x〕 ；解：由xf 〔t 〕dt0〔 x 1〕 f〔 x〕 1知f 〔0〕 1 ；方程两边对 x 求导得f 〔x〕f 〔 x〕 〔 x1) f〔 x〕 0 ，分别变量求得f 〔 x〕〔 xc ，1〕2将 f 〔0〕 1代入得 c1 ， f〔 x〕〔x1 ；1〕22．可转化的可分别变量的齐次方程y f 〔 x 〕 yy方法：令 pxy p〔 x〕x y p xpp x dp dxf 〔 p 〕dp dx；f 〔 p〕 p x例 5.5． dy x ydx x y1 y解： dy xdx 1 y x令 p y , y pxxx dp 1 p p dx 1 py p1 2 p1 pxp p 2p x dp 1 pdx 1 p〔1 p 〕dp dx 〔1 p〕dp dx1 2 p p 2 x1 ln 1 2 p p 22ln x2 〔1C ，p〕 2 x将 p y x代入即可；例 5.6．x2dy〔 x2y2 〕dx精品资料 欢迎下载解： dy dx1 〔 y x〕2 ，令 p y xy px, y p xpdp 2p x 1 p dxx dp 1 p2 p dxdp dx1 p p 2 xd 〔 p 1〕2 dx1 3 x〔 p 〕2 〔 〕22 p 12 arctan 22 2ln x C3 3即， 2arctan 2 p 1ln x C ， 将 py代入即可；3 3 x二、一阶线性齐次方程（ ODE ）1．基本型y p〔 x〕 y q 〔x〕 公式公式： y〔 q〔 x〕ep 〔 x〕 dxC〕ep〔 x〕 dx注：应用此公式要留意：不定积分不带 C；基本型又称标准型；例 5.7 ． xy2 y x3解： y2 y x2 ，其中 xp〔 x〕2, q 〔 x〕xx2 ；p 〔x〕dxp〔 x 〕 dx 12 dx x2ln xp 〔x 〕dx 2e 2 ， e xxp〔 x 〕 dx x2q〔 x〕e dx2 dx xx由公式得， y〔 q〔 x〕ep〔 x 〕dxC〕ep 〔x 〕 dx〔x C 〕 x2x3 Cx2 ；例 5.8 ．xy ysinx, y〔 〕 1解： y 1 yxsin x , p x1 ,q xsin x xp x dxln x ，q 〔 x〕 ep〔 x 〕dxsin x xxdxcos x精品资料 欢迎下载y 〔 cos x C 〕eln x Ccos x x将 x , y1 代入得 1 C 1 ， C 1，1 cosxy ；x2． Bernoulli 方程y p〔 x〕 y q〔 x〕 yn方法：令y1 nz ，方程可简化为dz 〔1 dxn〕P 〔 x〕 z〔1 n〕Q 〔x〕例 5.9． 解：令x dydx1 zyy xy2， y 1 就，得 dyz dx1 dz z2 dx1 dz x z2 dx1 1z x z2x dz z x dxp〔 x〕dxdz 1 zdx x1 dx x1, p ln x ，1 ,xq〔x〕eq 1p〔 x〕 dxdx1 ln x1dxxz 〔ln xc〕eln x〔ln xc〕 x故， y1x〔ln x c〕2 4例 5.10 ． y y x1 4 13 x2 y 31dy 3 dz解：令 y 3y 3 z,y z3 ,dx z4，代入即得：dx3 dz 2 13x2 1dz 2 z x2z4 dx即 px z32 , qz4x2 ,dx 3 xp〔 x〕dx2 ln x3x 3q〔 x〕ep 〔x 〕 dxdxx2 x23 dx4x 3 dx73 x3 c7精品资料 欢迎下载7 2z 〔 3 x 37C 〕x 3yx2 〔13 x7 /37C 〕3三、二阶常系数线性 ODE1．齐次方程y py qy0 ，其中p, q 为常数；1x求解步骤： 1）特点方程2 p q0 ，求根1, 2 ；1 x2） 1, 2 互异实根， yc1 ec2e2 x ，1 2 ， yc1ec2 xe2 x ；i 〔 0〕 ， y e x 〔 c cos x c sinx〕 ；1,2 1 2其中 c1 , c2 为任意实数；例 5.11． y 3 y 4 y 0解： 2 34 0,得 =4 ， -1 ，y c1e4xc2 ex （其中c1, c2为任意实数）例 5.12 ． y 4 y 4 y 0解： 2 4 4 0, 2 ，1 2y c e2 x c xe2x1 2例 5.13 ． y 4 y 0解： 24 0,2i 〔i1〕 ，y c1 cos 2 x c2 sin 2 x ；例 5.14 ．y y y 0解： 2 1 0 ， 1 3i ，21 xy e 2〔C1 cos3 3x C2 sinx2 2x〕 ；2．非齐次方程y py qy ePm xcosx Pnx sin x精品资料 欢迎下载其中 Pmx ， Pnx 表示m, n 次多项式；解结构： y 齐次方程通解 y 特解 y ；特解 y 形式设定如下：（ 1 ）识别 , ,m, n ；（ 2）运算 i ， k 和特点根 1 ,2 相等个数， lmaxm, n ；（ 3）特解可设为y x xk e xQ x cos x Q.x sin x ，l l其中 Qlx ,Qlx 为 l 次多项式；注：这一公式是将通常教科书上如干公式统一而成；例 5.15 ． 2 y y y解：（１） 2 y y y2ex0 ，2 2 1 0 , 2 1 1 0 ，1 x1 , 1 ，1 22齐次通解y C e 2 C e xx1 2x（２） 2ee 2cos 0 x0 sin 0 x ，1, 0, m n 0 ， i 1xk 0,lmaxm, n 0 ，0x又设 y x eAcos 0x B sin 0x Ae ，代入原方程得2 AexAexAex2exA 1 ，y ex ；1 xy C e2C e x ex1 2例 5.16 ． y2 y y xex解：（１） y2 y y0, 22 1 0, 1 2 1，y C ex C xexx1 2x（２） xee x cos 0 x0 sin 0 x ，1, 0, m1,n 0 ，i 1 ，k 2,lmaxm, n 1精品资料 欢迎下载可设 y x2 exAx Bcos 0x Cx Dsin 0 xx2exAx B Ax3Bx2 ex运算得：y Ax33 A B x22 Bx ex。