2022年易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析.pdf

学习必备欢迎下载利用二次函数解决利润的最值问题我对北师大课本一道例题的认识北师大 20XX年 7 月第 1 版数学九年级下册P48例题的解答中有这样一个过程：y=(160+10 x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440 这里并没有把关系式先化为一般形式，而是直接写成二次函数的顶点式，有的同学会问，这里的“ 2”和“19440”是怎么来的，不是用ab2，abac442吗？不化为一般形式怎么找a、b、c 呀！其实我们只需求出抛物线与x 轴的交点横坐标，即y=0 时 x 的两个值，再根据抛物线的对称性，或运用“中点坐标公式221xxx”，就得到了抛物线的顶点横坐标，再把它代入关系式即可求出对应y 的值，也就是顶点纵坐标如果把这道例题变为一道填空或选择题，我们巧用抛物线的对称性， 过程会既节又省，提高做题效率比如：某旅馆有客房 120间，每间房的日租金为 160元时，每天都客满 经市场据调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间不考虑其它因素， 旅馆将每间客房的日租金提高到_元时，客房日租金的总收入最高设每间客房的日租金提高10 x 元，客房日租金的总收入为y 元，则y=(160+10 x)(120-6x) ，令 y=0，得两根为 -16 和 20，根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为 x=2。

由 x0 且 120-6x0 得 0 x0 得 15x29，x=22 在此范围内a=20，抛物线开口向下，当 x=22 时，y最大值=98故答案为： 22由于这个问题中存在诸多变量，许多同学想不明白，我看这样想行不行：单件利润 =售价-进价，进价是不变的，而 售价现在变为 x了，则单件利润就是（x-15）而这时数量变化依然是因为降价而造成的，始终有降价2 元多卖 4件这一关系， 所以如果知道了降多少元， 就必然知道多卖多少件 那么降了多少元呢？最初的售价是25 元，降价后的售价是x 元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为 (25-x)我们知道降 2 元多卖 4 件，降 1 元多卖 2 件，现在降了（25-x）负全部元，那么就应该多卖2 （25-x）件，注意这只是多卖的，总共卖的应该是原来卖的8 件加上多卖的，即 8+2 （25-x ） 所以数量就是 8+2 （25-x ） 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载单利润知道了是 x-15，销售数量也知道了是8+2（25-x），则总利润 y=（x15）8+2（25-x ） 。

解法二】：设利润为y 元，定价为 x 元根据题意得： y=（x15）8+2（25-x ）=（x15）(58-2x ）由于本题是一道填空题，所以只要明了二次函数的意义，就可以快速解题：x15=0得 x=15；58-2x=0 得 x=29其实在这里就已经能求出自变量x 的取值范围了（ 15x0 得 15x0 及 2x0 得 0000 40 x55抛物线开口向下，在对称轴直线x=60 的左侧， y 随 x 的增大而增大当 x=55 时，y最大=1125 答：关系式为 y=-3x2+360 x-9600，每箱苹果的销售价为55 元时，可以获得最大利润，最大利润是1125 元练习： 某农户生产经销一种农副产品， 已知这种产品的成本价为20元/ 千克，物价部门规定这种产品的销售价不得高于28 元/ 千克，市场调查发现， 该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/ 千克）有如下关系： y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为w（元）（1）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）该农户想要每天获得不低于150 元的销售利润，销售价应定为多少？参考答案： 28 192 2528（25、26、27、28）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载总结：根据函数解析式求出的最值是理论值，与实际问题中的最值不一定相同， 需考虑自变量的取值范围。

所以确定出二次函数的解析式后，要根据题意列不等式组求出自变量x 的取值范围如果取值范围在对称轴的一侧，要根据抛物线的增减性找出二次函数的最值三）二次函数与一次函数的综合例 2（2015?鄂州, 第 23 题 10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30 元经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60 时，y=80；x=50时，y=100在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元（1）y 与 x 的关系式为 _，自变量 x 的取值范围是 _2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解答：（ 1）y=2x+200（30 x60）（2）W= （x30）（ 2x+200）450=2x2+260 x6450 （3）W= 2x2+260 x6450=2（x65）2+2000，30 x60，x=60时，w有最大值为 1950 元，当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，最大获利是1950 元。

练习 1：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下表：若把销售单价 x 与日销售量 y 作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 是_函数1）直接写出日销售量y(件)与销售价 x(元)的函数关系式为 _；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售单价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（3）若销售单价不得超过20 元，每日的销售利润最大是多少？（4）若销售利润不低于125 元，销售单价应如何确定？练习 2：某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元；市场调查发现，若每箱以45 元的价格销售，平均每天销售105 箱；每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售90 箱假定每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间满足一次函数关系式（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？练习 3：“健益”超市购进一批20 元千克的绿色食品，如果以30 元千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价 x（元）（ x30）存在如下图所示的一次函数关系精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（1）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？ （3） 根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）参考答案：（ 1）y=-20 x+1000 （2）2202020100020140020000pxyxxxxx=35即当销售单价为 35元千克时，每天可获得最大利润. （3） 3134x或 3639x练习 4：（2015?湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40 元超市规定每盒售价不得少于45元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出20 盒（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元如果超市想要每天获得不低于6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？参考答案：（ 1）由题意得， y=70020（x45）=20 x+1600；（2）P=（x40）（20 x+1600）=20 x2+2400 x64000=20（x60）2+8000，（3）由题意，得 20（x60）2+8000=6000 ，解得 x1=50，x2=70 50 x58在 y=20 x+1600中，y 随 x 的增大而减小当 x=58 时， y最小值=2058+1600=440 ， 即超市每天至少销售粽子440 盒总结：既有一次函数又有二次函数，要分清、认准变量字母，不能混淆。

注意哪个函数需要用待定系数法，哪个需要根据题意进行计算得出要处理好这些字母之间的“亲属”关系，沉得住气，认真仔细地将题目中所提供的信息加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题三）分段函数及其最值的讨论例 2（2015?黄石第 23 题 8 分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40 元，售价为每件 60元，每月可卖出 300件市精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载场调查反映：调整价格时，售价每上涨1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/ 件）（x0 即售价上涨， x0 即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为 w（元）1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000 元应如何控制销售价格？解答：（ 1）由题意可得： y=（且 x 为整数）（2）由题意可得： w=)020)(20300)(4060()300)(10300)(4060(xxxxxx化简得： w=在 0 x 30 时， x=5 可得 W最大=6250； 在-20 x0 时， 因为 x 为整数所以 x=2或 3 可得 W最大，此时 W最大一定61256250 。

故当 x=5 即销售价格为 65 元时，利润最大，最大利润为6250 元（3）由题意得 w 6000，如图，令 w=6000 ，即 6000=10（x5）2+6250； 6000=20（x+ ）2+6125，解得： x1=5，x2=0，x3=10，当 5x10时，即将销售价格控制在55 元到 70 元之间（含 55 元和 70元）才能使每月利润不少于6000 元练习：某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q （单位：吨）与销售价格 x（单位：万元 / 吨）的关系可用下图的一条折线表示（1）写出月销售量 Q关于销售价格 x 的函数关系；（2）如果该商品的进价为5 万元/ 吨，除去进货成本外， 专卖店销售该商品每月的固定成本为10 万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载根据市场调查，某商品在最近40 天内的价格 P与时间 t 的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间 t 的关系用图（ 2）中的线段表示（ t 为正整数）（1）分别写出图 1 表示的价格 P与时间 t 的函数关。