用平常心破解三类函数问题(二轮复习.pdf

1 用平常心破解三类函数问题（二轮复习 1-2） 山东省汶上县圣泽中学家属院 00307 信箱 马继峰 本文发表于《升学指导报》高三版 分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，对于这三类函数高考时有考查.那么该如何破解 这三类函数的有关问题呢？其实只要解答时，你有一颗平常心，就可以顺利解答.即无论你多么复杂、多 么抽象，反正你是函数，你既然是函数，我就可以用函数及其性质的定义去研究你.下分类举例说明. 一、分段函数一、分段函数 分段函数是有唯一的自变量和函数值，而有多个对应关系（法则）的函数，常见的分段函数问题有： ①求函数值；②已知函数值求自变量值；③研究单调性.解答分段函数问题一般遵循先分后总的原则，即 先分段研究，再综合作答. 例例 1 若函数    ≥ − = 0 , 2 0 , log ) ( 2 x x x x f x ，若 1 ) ( = a f ，则 = a （ ） A.0 B.2 C. 0 或2 D. 0 或 2 − 分析：分析：令两段中的解析式等于 1，解方程求x的值，若x的值恰好在相应的范围内，则适合题意，否 则，不适合题意. 解：解：由 1 log 2 = a ，得 0 2 > = a ，故 2 = a 适合题意；由 1 2 = a ，得 0 0 ≤ = a ，故 0 = a 也适合题意. ∴ 0 = a 或 2 = a .选 C. 评注：评注：本题是已知函数值求分段函数的自变量值问题，解答方法为逐段求解并检验. 例例 3 设    ≥ + − 4 ) 1 3 ( 的a 的取值范围. 两个范围的交集即为a 的最终取值范围. 解：解： ∵函数 ) (x f 是R上的减函数， ∴      ≥ + × − − + − = x x u 前提下求出 7 8 2 − + − = x x u 的递增区间，即为函数 ) 7 8 lg( 2 − + − = x x y 的 递增区间，然后通过 ) 1 , ( + m m 是这个递增区间的子集求m的取值范围. 解：解：由 0 7 8 2 > − + − = x x u ，可得 7 1 < < x ，而函数 7 8 2 − + − = x x u 的递增区间为 ) 4 , (−∞ ，∴函数 ) 7 8 lg( 2 − + − = x x y 的递增区间为 ) 4 , 1 ( . 若使函数 ) 7 8 lg( 2 − + − = x x y 在 ) 1 , ( + m m 上是增函数，须使 ) 4 , 1 ( ) 1 , ( ⊆ + m m ，只需    ≤ + ≥ 4 1 1 m m ，解得 3 1 ≤ ≤ m ，∴m的取值范围是 ] 3 , 1 [ . 评注评注：：复合函数的单调性是最常考查的一类问题，解答时，要牢记同增异减这个规律.本题中的易错 点是范围端点值的取舍不当，今后在求参数范围时，这一点务必要小心考查. 例例 5 设函数 ax x f x 2 1 ) 1 3 ( log ) ( 3 + + = 是偶函数，则a 的值为 . 分析：分析：依据偶函数的定义把问题转化为方程的恒成立问题，即可求a 的值. 解：解：∵ ax x f x 2 1 ) 1 3 ( log ) ( 3 + + = 是偶函数，∴ ) ( ) ( x f x f = − ，即 = − + − ax x 2 1 ) 1 3 ( log 3 + + ) 1 3 ( log 3 x ax 2 1 ，即 ax x = − 3 log 3 ，即 0 ) 1 ( = + x a 在R上恒成立，∴a 的值为 1 − . 评注：评注：请同学们坚信一点：无论什么函数，只要它是函数，在研究其性质时，都可以利用相应性质的 定义去研究. 三、抽象函数三、抽象函数 抽象函数是指未给出解析式的函数，既然没有给出解析式，解答抽象函数的相关问题时，就只能运用 函数的性质.抽象函数的常见问题有：①求函数值；②研究函数性质；③研究抽象函数构成的方程或不等 式等问题. 例例 6 设奇函数 ) (x f 满足：对 R x∈ ∀ 有 0 ) ( ) 1 ( = + + x f x f ，则 = ) 5 ( f . 分析：分析：把 ) 5 ( f 转化为 ) 0 ( f ，然后再由奇函数的性质： 0 ) 0 ( = f 求 ) 5 ( f . 解：解： 0 ) ( ) 1 ( = + + x f x f 可化为 ) ( ) 1 ( x f x f − = + ，∴ ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( f f f f f f − = = − = = − = ， ∵ ) (x f 是奇函数且在 0 = x 处有定义，∴ 0 ) 0 ( = f ，∴ 0 ) 5 ( = f . 评注：评注：若奇函数在 0 = x 处有定义，则 0 ) 0 ( = f 是奇函数的重要性质，本题正是利用这一性质求解的. 例例 6 函数 ) (x f 是R上的单调函数，且对任意的实数 b a, 都有 1 ) ( ) ( ) ( − + = + b f a f b a f ， 5 ) 4 ( = f ， 则不等式 3 ) 2 3 ( 2 < − − m m f 的解集为 . 分析：分析：把不等式右边的 3 转化为函数值 ) 2 ( f ，然后根据函数 ) (x f 是R上的单调函数及 ) 4 ( ) 2 ( f f < 确 定函数是R上的增函数，即可脱去对应关系（法则） f ，求出不等式的解集. 解解：：把 2 = = b a 代入 1 ) ( ) ( ) ( − + = + b f a f b a f ，可得 5 1 ) 2 ( 2 ) 4 ( = − = f f ，∴ 3 ) 2 ( = f ，∴不等式 3 ) 2 3 ( 2 < − − m m f 可化为 ) 2 ( ) 2 3 ( 2 f m m f < − − . 又函数 ) (x f 是R上的单调函数，且 ) 4 ( ) 2 ( f f < ，∴函数 ) (x f 是R上的增函数，∴ 2 2 3 2 < − − m m ， 即 0 4 3 2 < − − m m ，解得 3 4 1 < < − m ，∴不等式 3 ) 2 3 ( 2 < − − m m f 的解集为 }3 4 1 | { < < − m x . 评注：评注：解由抽象函数构成的不等式，一般首先把不等式化为 ) ( ) ( b f a f < 的形式，再根据函数的单调3 性脱去对应关系（法则） f ，即可化抽象不等式为具体不等式，解之即得原不等式的解集.赋特殊值法是 解答抽象函数问题最常用的一种方法. 分段函数是有多个对应关系（法则）的函数，这些对应关系（法则）之间是并列关系；复合函数也有 多个对应关系（法则） ，这些对应关系（法则）之间是从属关系；抽象函数不是没有对应关系（法则） ，而 是被隐去了.明确这些有助于同学们解答相关问题.。