2022年高考数学一轮总复习冲刺第十一篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法训练理新人教版.pdf

最新教学推荐 ,1 第 4 节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,4,5,7,8,9,13 反证法2 数学归纳法6,10,15 推理与证明的综合应用11,12,14 基础巩固 ( 时间 :30 分钟 ) 1. 命题 “如果数列 an 的前 n项和 Sn=2n2-3n, 那么数列 an一定是等差数列” 是否成立 ( B ) (A) 不成立 (B)成立(C) 不能断定 (D) 与 n 取值有关解析 : 因为 Sn=2n2-3n, 所以 n=1 时 a1=S1=-1, 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时适合 an, 且 an-an-1=4, 故an为等差数列 , 即命题成立 .故选 B. 2. 用反证法证明某命题时, 对结论 : “自然数 a,b,c中恰有一个是偶数” 正确的反设为( B ) (A)a,b,c中至少有两个偶数(B)a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)a,b,c都是奇数(D)a,b,c都是偶数解析 :a,b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数. 其否定有a,b,c均为奇数或a,b,c至少有两个偶数 . 故选 B. 3. 设 a=-,b=-,c=-, 则 a,b,c的大小顺序是( A ) (A)abc (B)bca (C)cab (D)acb 解析 : 因为 a=-=,b=-=, c=-=, 又因为+0, 所以 abc. 故选 A. 4. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明: “设 abc, 且 a+b+c=0, 求证0 (B)a-c0 (C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0 解析 :a? b2-ac3a2,最新教学推荐 ,2 ? (a+c)2-ac3a2? a2+2ac+c2-ac-3a20 ? -2a2+ac+c20 ? (a-c)(2a+c)0? (a-c)(a-b)0.故选 C. 5. 设 0 x0,b0,a,b为常数 ,+的最小值是 ( C ) (A)4ab (B)2(a2+b2) (C)(a+b)2(D)(a-b)2解析 :(+)(x+1-x)=a2+b2 a2+b2+2ab=(a+b)2. 当且仅当x=时,等号成立 .故选 C. 6. 用数学归纳法证明 “n3+(n+1)3+(n+2)3(n N*) 能被 9 整除”, 要利用归纳假设证n=k+1 时的情况 , 只需展开 ( A ) (A)(k+3)3 (B)(k+2)3(C)(k+1)3 (D)(k+1)3+(k+2)3解析 : 假设当 n=k 时, 原式能被9整除 , 即 k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除 . 当 n=k+1 时 ,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将 (k+3)3展开 , 让其出现k3即可 . 故选 A. 7.(2016 兰州调研 ) 已知a,b是不相等的正数,x=,y=, 则 x,y的大小关系是. 解 析 : 因 为(a b) ? a+b2? 2(a+b)a+b+2?a+b?, 即 xy. 答案 :xy 8. 已知点 An(n,an) 为函数 y=图象上的点 ,Bn(n,bn) 为函数 y=x 图象上的点 , 其中 nN*,设 cn=an-bn, 则 cn与 cn+1的大小关系为. 解析 : 由已知条件得cn=an-bn=-n=, 所以 cn随 n 的增大而减小 , 所以 cn+1cn. 答案 :cn+10,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则( A ) (A)PQ (B)P0, 所以 P2; ,最新教学推荐 ,3 又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而 sin 2x1, 所以 Q 2. 于是 PQ.故选 A. 10. 平面内有n 条直线 , 最多可将平面分成f(n)个区域 , 则 f(n) 的表达式为 ( C ) (A)n+1 (B)2n (C)(D)n2+n+1 解析 :1 条直线将平面分成1+1 个区域 ;2 条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4 个区域 ;3 条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域 ; ,;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+ ,+n)=1+=个区域 . 故选 C. 11.(2017 邯郸模拟 ) 设 a,b 是两个实数 , 给出下列条件: a+b1; a+b=2; a+b2; a2+b22; ab1. 其中能推出 :“a,b 中至少有一个大于1”的条件是.( 填序号 ) 解析 : 若 a=,b=, 则 a+b1, 但 a1,b2, 故推不出 ; 若 a=-2,b=-3,则 ab1, 故推不出 ; 对于 , 反证法 : 假设 a 1 且 b 1, 则 a+b 2与 a+b2 矛盾 , 因此假设不成立, 故 a,b 中至少有一个大于1. 答案 : 12. 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1, 在区间 -1,1内至少存在一点c, 使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是. 解析 : 法一( 补集法 ) 令解得 p -3 或 p, 故满足条件的p 的范围为 (-3,). 法二( 直接法 ) 依题意有f(-1)0或 f(1)0, 即 2p2-p-10 或 2p2+3p-90, 得-p1 或-3pbcd0 且 a+d=b+c, 求证 :+. 证明 : 要证+, 只需证 (+)2(+)2, 即 a+d+2b+c+2, ,最新教学推荐 ,4 因 a+d=b+c, 只需证, 即 adbc, 设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)0, 故 adbc 成立 , 从而+成立 . 14. 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数: sin213+cos217-sin 13cos 17 ; sin215+cos215-sin 15cos 15 ; sin218+cos212-sin 18cos 12 ; sin2(-18 )+cos248-sin(-18)cos 48 ; sin2(-25 )+cos255-sin(-25)cos 55 . (1) 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数 ; (2) 根据 (1) 的计算结果 , 将该同学的发现推广为三角恒等式, 并证明你的结论. 解:(1)选择式 , 计算如下 : sin215 +cos215 -sin 15cos 15 =1-sin 30=1-=. (2) 法一三角恒等式为sin2+cos2(30 - )-sin cos(30 - )=. 证明如下 : sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - )=sin2 +(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30 cos +sin 30 sin )= sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2 = sin2+cos2=. 法二三角恒等式为sin2+cos2(30 - )-sin cos(30 - )=. 证明如下 : sin2+cos2(30 - )-sin cos(30 - )=+-sin ( c o s3 0 c o s + s in3 0 s in ) =- c o s2 + + (cos 60cos 2 +sin 60 sin 2 )-sin cos -sin2 =- cos 2 +cos 2 +sin 2 -sin 2 - (1-cos 2 )=1-cos 2-+cos 2 =. 15. 数列 an满足 a1=,an+1=. (1) 求数列 an的通项公式 ; ,最新教学推荐 ,5 (2) 设数列 an的前 n 项和为 Sn,证明 Sn0), 则 F(x)=-1=0). 函数 F(x) 为(0,+ )上的减函数 , 所以 F(x)F(0)=0,即 ln(x+1)0), 从而 ln(1+),1-1-ln(1+), an=1-1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以 Sn(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+,+1-ln(n+2)+ln(n+1), ,最新教学推荐 ,6 所以 Snn-ln(). 。