知识点51发现、拓展、应用型问题2020.docx

一、选择题二、填空题三、解答题23（2020·衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线 与坐标轴的交点，点B的坐标为(﹣2，0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值；②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．{解析}（1）按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线进行连线可得函数的图象，从函数的形状可知它为抛物线；（2）由D、F两点的对称性，通过全等三角形以及函数的解析式可得用含m的代数式表示出D、F和E点的坐标，然后利用两点间距离公式可得EF2的解析式，再由点C的坐标可得m的取值范围；（3）分∠FBE、∠BEF和∠BFE是否为直角进行讨论，并利用两点间距离公式进行求解.{答案}解： （1）画图如下：猜想函数的类别为二次函数； 图1（2）如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90˚.设FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD,∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK,∴FG=DH.由yAC=-可知A(0,4) ,又∵B为（-2，0），∴yAB=2x+4,过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的横坐标为m，∴F(-m，-2m+4)，∴ER=2m，FR=-2m+4，∵EF2=FR2+ER2,∴l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8.令-=0，解得x=1.5,∴，∴当m=1时，l的最小值为8.∴EF的最小值为2.（3）分以下三种情形进行讨论：①∠FBE为定角，不可能为直角；②当∠BEF=90˚，E点与O点重合，D点与A点、F点重合，此时m=0；③当∠BFE=90˚时，如图2，由于BF2+EF2=BE2, 由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1=,m2=2（不符题意，舍去），综上，当△BEF为直角三角形时，m=0或.24（2020·衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由；（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值；【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．{解析}（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质来进行证明．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL，即BF＝2OG．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．{答案}解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG，∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴. ∵S1•OG•DK，S2•BF•AD，又∵BF＝2OG，，∴，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2AO=2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴BE，由题意：102aAD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BEa，AB＝4a，∴tan∠BAE．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴BE，由题意：102aAD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴ka，∴ADa，∴BEa，ABa，∴tan∠BAE，综上所述，tan∠BAE的值为或．23.(2020·宁波)【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD·AB．【尝试应用】（2）如图2，在□ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长.【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长.{解析}本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质及菱形的性质．（1）由两角相等证明△ADC∽△ACB，再由相似三角形的性质证明结论；（2）解决这类发现、探究类问题要将后面求解内容转化为前面已经解决的问题进行求解，所以要求AD，首先根据平行四边形的性质将AD转化为BC，再由已知及图形性质证明△BFE∽△BCF，最后由相似三角形的性质求得AD的长；（3）把图形（3）通过辅助线转化为（2）中的图形，为此分别延长EF，DC相交于点G，构造平行四边形AEGC，由相似三角形的性质及已知条件求得DG，进而求得菱形边长．{答案}23.解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC＝AC:AB，∴AC2＝AD·AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF2＝BE·BC，∴BC＝＝，∴AD＝（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G.∵四边形ABCD是菱形，∴AB//DC，∠BAC＝∠BAD，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴DE2＝EF·EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵DG:DF＝DE:EF，∴DG＝DF＝5，∴DC＝DG－CG＝5－2.23．（2020·嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．{解析}本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质、图形的变换等知识．【思考】由△ABC≌△DEF可知，AB＝DE，∠BAC＝∠ADE，∴AB∥DE，所以四边形ABDE是平行四边形；【发现】连接BE交AD于点O，由矩形可知OA＝OB＝OE＝OD，又AF＝DC，得到OF＝OC，在Rt△OEF中，设AF＝x，则AD＝x＋4，OA＝，所以OF＝OA–AF＝，所以，解得AF＝。

探究】BD＝2OF.由FE平分∠OEA以及OF⊥EF可知延长OF交AE于点H，从而得到△OEH是等腰三角形，OF＝FH，只需证明△OBD≌△OEH即可{答案}解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．证明：如图，∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形.【发现】如图，连接BE交AD于点O，∵四边形ABDE为矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，∴，解得：x＝，∴AF＝cm．【探究】BD＝2OF，证明：如图，延长OF交AE于点H，纸片DEF绕点O旋转前，四边形ABDE为矩形，∴OA＝OB＝OE＝OD.纸片DEF绕点O旋转后，由旋转的性质可知，OA＝OB＝OE＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA.∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，∴∠ABD+∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB，∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF.∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA），∴EO＝EH，FO＝FH，∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，∴△EOH≌△OBD（AAS），∴BD＝OH＝2OF．23．（2020湖州）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存。