高等代数CAI张禾瑞郝炳新编第四版ppt课件.ppt

高等代数高等代数高等代数高等代数CAICAI课课件件件件张张禾瑞禾瑞禾瑞禾瑞        郝炳新郝炳新郝炳新郝炳新      编编          ((第四版第四版第四版第四版)).第一章第一章 根本概念根本概念.第二章第二章 多项式多项式.第三章第三章 行列式行列式.第四章第四章 线性方程组线性方程组.第五章第五章 矩阵矩阵.第六章第六章 向量空间向量空间.第七章第七章 线性变换线性变换.第八章第八章 欧氏空间欧氏空间.第九章第九章 二次型二次型广广广广东东教育学院数学系教育学院数学系教育学院数学系教育学院数学系 代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室 何谓高等代数¡大家知道，初等代数是研讨数及代表数的文字的代数运算〔加法、减法、乘法、除法、乘方、开方〕的实际和方法，也就是研讨多项式〔实系数与复系数〕的代数运算的实际和方法.而多项式方程及多项式方程组的解〔包括解的公式和数值解〕的求法及其分布的研讨恰为初等代数研讨的中心问题，以这个中心问题为根底开展起来的普通数域上的多项式实际与线性代数实际就是所谓的高等代数. 本课程的意义、内容及学习要求¡高等代数是大学数学中的一门重要根底课程，从内容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。

其中许多实际对于加深中学数学教材的了解有着直接的指点意义，因此作为一个合格的中学数学教师，学好这门课程是非常必要的此外，高等代数的思想和方法曾经浸透到数学的各个领域，在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的运用，所以，学好这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是考研的一门必考课程第一章第一章  根本概念根本概念*第一第一节 集合集合*第二第二节 映射映射*第三第三节 数学数学归纳法法*第四第四节 整数的一些整除性整数的一些整除性质*第五第五节 数数环和数域和数域 第一节 集合及映射¡章节称号：集合及映射¡教学目的与要求：了解集合的概念和表示，运算；了解并掌握映射的定义，合成，单射满射等的定义，掌握双射的等价描写¡重点：证明映射是单射、满射的方法一、集合一、集合把一些事物聚集到一同把一些事物聚集到一同组成的一个整体就叫做集合；成的一个整体就叫做集合；常用大写字母常用大写字母A A、、B B、、C C 等表示集合；等表示集合；当当a a是集合是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a 属于属于A A，记作，记作: : ；； 当当a a不是集合不是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a不属于不属于A A，记作：，记作： 1 1、概念、概念组成集合的成集合的这些事物称些事物称为集合的元素．集合的元素． 用小写字母用小写字母a a、、b b、、c c 等表示集合的元素．等表示集合的元素． ☆☆ 关于集合没有一个关于集合没有一个严谨的数学定的数学定义，只是有，只是有一个描画性的一个描画性的阐明．集合明．集合论的开的开创人是人是1919世世纪中期中期德国数学家康托德国数学家康托尔〔〔G G．．CantorCantor〕，他把集合描画〕，他把集合描画为：：所所谓集合是指我集合是指我们直直觉中或思想中确定的中或思想中确定的, ,彼此有明彼此有明确区确区别的那些事物作的那些事物作为一个整体来思索的一个整体来思索的结果果; ;集合集合中的那些事物就称中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性素具有：确定性、互异性、无序性. . Remark:☆☆集合的表示方法：集合的表示方法：描画法：描画法：给出出这个集合的元素所具有的特征性个集合的元素所具有的特征性质.列列举法：把构成集合的全部元素一一列法：把构成集合的全部元素一一列举出来出来.例例1例例2 N＝＝ ，， 2Z＝＝ 例例3 M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛＝｛a1，，a2，，…，，an｝｝2 2、集合、集合间的关系的关系 ☆☆ 假假设B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，那么称中的元素，那么称B是是　　A的子集，的子集，记作　　　作　　　 ，〔，〔读作作B包含于包含于A〕〕当且仅当当且仅当 ☆☆ 空集：不含任何元素的集合，空集：不含任何元素的集合，记为φ．．留意：｛留意：｛φ｝｝≠φ,空集是恣意集合的子集空集是恣意集合的子集 ☆☆ 假假设A、、B两集合含有完全一两集合含有完全一样的元素，那么称的元素，那么称 A与与 　　B相等，相等，记作作A＝＝B .A＝＝B当且仅当当且仅当 且且 3 3、集合、集合间的运算的运算 　交：　　交：　 ；； 并：并： 显然有，然有，1、证明等式、证明等式: ．．证：显然，证：显然， ．又．又 ，， ∴∴ ，，从而从而, ．．例例题：： 故等式成立．故等式成立．2、知、知 ，， 证明：证明： 又因又因 ，， ∴∴ ．． 又因又因 ，，∴∴ ．． 证：证：1〕〕 此即，此即，因此无论哪一种情况，都有因此无论哪一种情况，都有 .此即，此即， 但是但是二、映射二、映射设M、、M´是是给定的两个非空集合，假定的两个非空集合，假设有有 一个一个对应法那么法那么σ，，经过这个法那么个法那么σ对于于M中的每一个元素中的每一个元素a，，都有都有M´中一个独一确定的元素中一个独一确定的元素a´与它与它对应, 那么称那么称 σ为称称 a´为 a 在映射在映射σ下的象，而下的象，而 a´ 称称为a在映射在映射σ下的下的M到到M´的一个映射，的一个映射，记作作 : 　　　　　　　　 或或原象，原象，记作作σ(a)＝＝a´ 或或1、定、定义① ① 设映射映射 , , 集合集合称之称之为M在映射在映射σ下的象，通常下的象，通常记作作 Imσ．．② ② 集合集合M M 到到M M 本身的映射称本身的映射称为M M 的一个的一个变换．． 显然，显然， 注注 例例4　判　判别以下以下M 到到M ´对应法那么能否法那么能否为映射映射 1〕〕M＝｛＝｛a，，b，，c｝、｝、M´＝｛＝｛1,2，，3,4｝｝ σ：：σ(a)＝＝1，，σ(b)＝＝1，，σ(c)＝＝2　　　　δ：：δ(a)＝＝1,δ(b)＝＝2,δ(c)＝＝3,δ(c)＝＝4τ：：τ(b)＝＝2，，τ(c)＝＝4　　　　 　　　　　　　　〔不是〕〔不是〕 〔是〕〔是〕 〔不是〕〔不是〕 2〕〕M＝＝Z，，M´＝＝Z＋，＋，σ：：σ(n)＝＝|n|, 　　　　　　　　τ：：τ(n)＝＝|n|＋＋1,　　　　　　　　　　〔不是〕〔不是〕 〔是〕〔是〕 σ：：σ(a)＝＝a0，　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　4〕〕M＝＝P，，M´＝＝ ，〔，〔P为数域〕数域〕τ：：τ(a)＝＝aE，， 〔〔E为n级单位矩位矩阵〕〕5〕〕M、、M´为恣意两个非空集合，恣意两个非空集合，a0是是M´中的一个中的一个　固定元素　固定元素. 〔是〕〔是〕〔是〕〔是〕6〕〕M＝＝M´＝＝P[x]〔〔P为数域〕数域〕 σ：：σ(f (x))＝＝f ´(x)，， 　　〔是〕〔是〕3〕〕M＝＝ ，，M´＝＝P，〔，〔P为数域〕数域〕 σ：：σ(A)＝＝|A|，　　　　　　　　，　　　　　　　　〔是〕〔是〕 例例5　　M是一个集合，定是一个集合，定义I：： I(a)＝＝a ，，即即 I 把把 M 上的元素映到它本身，上的元素映到它本身，I 是一个映射，是一个映射，例例6 恣意一个在实数集恣意一个在实数集R上的函数上的函数 y＝＝f(x) 都是都是实数集数集R到本身的映射，即，函数可以看成是到本身的映射，即，函数可以看成是称称 I 为 M 上的恒等映射或上的恒等映射或单位映射．位映射． 映射的一个特殊情形．映射的一个特殊情形． 2 2、映射的乘、映射的乘积设映射设映射 ，， 乘积乘积定义为：定义为： (a)＝＝τ(σ(a))　　 即相即相继施行施行σ和和τ的的结果，果， 是是 M 到到 M" 的一个的一个 映射．映射． ①①对于恣意映射于恣意映射 ，有　，有　 ②②设映射映射，， 有有注：注：注：注：3 3、映射的性、映射的性质: :设映射设映射1〕假设〕假设，即，即对于恣意于恣意，均存在，均存在〔或称〔或称 σ为映上的〕；映上的〕； 2〕假〕假设M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 〔或〔或〕，〕， 那么称那么称σ是是M到到M´的一个的一个单射〔或称射〔或称σ为1—1的〕；的〕； 3〕假〕假设σ既是既是单射，又是射，又是满射，那么称射，那么称σ为双射双射,，使，使 　　　　 　，那么称　，那么称σ是是M到到M´的一个的一个满射射〔或称〔或称σ为 1—1对应〕〕 例例7　判　判别以下映射的性以下映射的性质1〕〕M＝｛＝｛a，，b，，c｝、｝、M´＝｛＝｛1,2，，3｝｝σ：：σ(a)＝＝1，，σ(b)＝＝1，，σ(c)＝＝2 〔既不〔既不单射，射，也不是也不是满射〕射〕 τ：：τ(a)＝＝3，，τ(b)＝＝2，，τ(c)＝＝1　　2〕〕M=Z，，M´＝＝Z＋，＋，τ：：τ(n)＝＝|n|＋＋1,〔是〔是满射，但不是射，但不是单射〕射〕 3〕〕M＝＝，，M´＝＝P，〔，〔P为数域〕数域〕 σ：：σ(A)＝＝|A|，，〔是〔是满射，但不是射，但不是单射〕射〕 〔双射〕〔双射〕4〕〕M＝＝P，，M´＝＝ P为数域为数域, E为为n级单位矩阵级单位矩阵τ：：τ(a)＝＝aE，，〔是〔是单射，但不是射，但不是满射〕射〕 σ：：σ(a)＝＝a0，，〔既不〔既不单射，也不是射，也不是满射〕射〕 6〕〕M＝＝M´＝＝P[x]，，P为数域数域σ：：σ(f (x))＝＝f ´(x)，，〔是〔是满射，但不是射，但不是单射〕射〕 7〕〕M是一个集合，定是一个集合，定义I：：I(a)＝＝a，　，　8〕〕M=Z，，M´＝＝2Z，，σ：：σ(n)＝＝2n,〔双射〕〔双射〕 〔双射〕〔双射〕 5〕〕M、、M´为恣意非空集合，　　　恣意非空集合，　　　为固定元素固定元素 　　①①　　对于有限集来于有限集来说，两集合之，两集合之间存在存在1—1对应的充要条的充要条 件是它件是它们所含元素的个数一所含元素的个数一样；； 　　②②　　对于有限集于有限集A及其子集及其子集B，假，假设B≠A〔即〔即B为A的真子集〕，那么的真子集〕，那么 A、、B之之间不能不能够存在存在1—1对应；；但是但是对于无限集未必如此于无限集未必如此.注：注：如例如例7中的中的8〕，〕，σ是是1—1对应，但，但2Z是是Z的真子集．的真子集． M=Z，，M´＝＝2Z，，σ：：σ(n)＝＝2n,4 4、可逆映射、可逆映射定定定定义义：：：：设设映射映射映射映射假设有映射假设有映射使得使得那么称那么称σ为可逆映射，可逆映射，τ为σ的逆映射，的逆映射，①① 假假设σ为可逆映射，那么可逆映射，那么σ－－1也也为可逆映射，且可逆映射，且 〔〔σ－－1〕－〕－1＝＝σ．．注：注：②②为可逆映射，可逆映射，，假，假设σ的逆映射是由的逆映射是由σ独一确定的独一确定的记作作σ－－1．．③ σ③ σ为可逆映射的充要条件是可逆映射的充要条件是σσ为1—11—1对应．．证：假：假设映射映射为1—1对应，那么，那么对均存在独一的均存在独一的，使，使σ(x)＝＝y，作，作对应 即即；； 即即∴∴σ为可逆映射．可逆映射． 那么那么τ是一个是一个M´到到M的映射的映射, 且且对 即即, 所以所以σ为满射射. 其次，其次，对，那么，那么 即即σ为单射射.所以．所以．σ为1—1对应．．反之，反之，设 为可逆映射，那么可逆映射，那么 练习：：1. 找一个找一个R到到R＋的＋的1—1对应．．，，规定定解：解：那么那么 是是R到到R＋的一个映射＋的一个映射.∵∵假假设，那么，那么，， ∴∴是是单射．射． ，存在，存在，使，使故故 　是　是1—1对应．． ∴∴是是满射．射． 2、令、令，问：，问：1〕〕g 是不是是不是R＋到＋到R＋的双射？＋的双射？g 是不是是不是 f 的逆映射？的逆映射？ 2〕〕g是不是可逆映射？假是不是可逆映射？假设是的是的话，求其逆．，求其逆． 解：解：1〕〕g是是R＋到本身的双射．＋到本身的双射． ∵∵ ，假，假设 ，那么，那么 ，，g是是单射射．． 并且并且 ，即，即g是满射．是满射． 又又∵∵ ，， ∴∴ ，， g不是不是 f 的逆映射．的逆映射． 现实上，现实上， ．． 2〕〕g是可逆映射．是可逆映射．3、设映射、设映射，证明：，证明：1〕假〕假设 h 是是单射，那么射，那么 f 也是也是单射；射；2〕假〕假设 h 是是满射，那么射，那么 g 也是也是满射；射；3〕假〕假设 f、、g 都是双射，那么都是双射，那么 h 也是双射，并且也是双射，并且这与与h是是单射矛盾，射矛盾，∴∴ f 是是单射．射．证：证：1〕假设〕假设 f 不是单射，那么存在不是单射，那么存在 于是有于是有2〕〕∵∵ h 是是满射，射，，即，即，，∴∴ g 是是满射．射．又又∵∵3〕〕 　　　，由于　　　，由于 g 是满射，存在　　　是满射，存在　　　,使使又由于又由于 f 是满射，存在　　　，使是满射，存在　　　，使h是是满射．射．∴∴∵∵假假设，由于，由于 f 是单射，有是单射，有又由于又由于 g 是单射，有是单射，有即即,∴∴因此因此 h 是双射．是双射．h 是是单射射.1.3 数学归纳法内容分布内容分布1.3.11.3.1最小数原理最小数原理1.3.21.3.2数学数学归纳法的根据法的根据教学目的教学目的掌握映射的概念掌握映射的概念, , 映射的合成，映射的合成，满射、射、单射、可射、可逆映射的判逆映射的判别。

重点、重点、难点点 映射的合成，映射的合成，满射、射、单射、可逆映射的判射、可逆映射的判别1.3.1 最小数原理数学数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最根本的性法所根据的原理是正整数集的一个最根本的性质——最小数原理最小数原理. 最小数原理最小数原理   正整数集正整数集      的恣意一个非空子集的恣意一个非空子集S必含有必含有一个最小数，也就是这样一个数一个最小数，也就是这样一个数          ，对恣意，对恣意        都都有有          . 其中其中      表示全体正整数表示全体正整数                       的集合的集合. 1．． 最小数原理并不是最小数原理并不是对于恣意数集都成立的于恣意数集都成立的2．． 设c是恣意一个整数，令是恣意一个整数，令留意留意那么经替代正整数集那么经替代正整数集     ，最小数原理对于，最小数原理对于      依然成依然成立立. 也就是说，也就是说，    的恣意的恣意 一个非空子集必含有一个最一个非空子集必含有一个最小数，特别，小数，特别，N的恣意一个非空了集必含有一个最小的恣意一个非空了集必含有一个最小数数. 这个原理的普通方式就是数学分析中的下〔上〕确界个原理的普通方式就是数学分析中的下〔上〕确界原理。

原理1.3.2数学归纳法的根据定理定理1.3.11.3.1〔数学〔数学归纳法原理〕法原理〕 设有一个与正整数有一个与正整数n n有关的命有关的命题. . 假假设 ① ①当当n=1n=1时. . 命命题成立；成立； ② ②假假设当当n=k n=k 时命命题成立，当成立，当n= k+1 n= k+1 时命命题也成也成 立；那么立；那么这个命个命题对于一切正整数于一切正整数n n都成立都成立. . 证  设命命题对于一切正整数都成立于一切正整数都成立. 令令S表示使命表示使命题不成不成立的正整数所成的集合立的正整数所成的集合. 那么那么          . 于是，由最小数原于是，由最小数原理，理，S中有最小数中有最小数h .由于命由于命题对于于n=1成立，所以成立，所以        从而从而h-1是一下正整数是一下正整数. 由于由于h是是S中最小的数，所以中最小的数，所以               . 这就是就是说当当n=h-1时，命，命题成立成立. 于是由于是由②②，当，当n=h时命命题也成立也成立. 因此因此         . 这就就导致矛盾致矛盾. 例例1  证明，当明，当         时，，n 边形的内角和等于形的内角和等于(n-2)π.证   当当n=3 时，命，命题成立成立. 由于三角形的内角和等于由于三角形的内角和等于π= (3-2)π.假假设时命命题成立成立. 恣意一个恣意一个k+1多多边形形                     ，，结合合         ，那么，那么                    的内角和就等于三角形的内角和就等于三角形        的内角和加上的内角和加上k边形形                     的内角和的内角和. 前者等于前者等于π，，后者由后者由归纳法假定，等于法假定，等于(k-2)π. 因此因此k+1多多边形形                      的内角和等于的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命命题得得证. 定理定理1.3.2〔第二数学〔第二数学归纳法〕法〕  设有一个与正整数有一个与正整数n有有关的命关的命题. 假假设①①  当当n=1时命命题成立；成立；②②  假假设命命题对于一切小于于一切小于k的自然数来的自然数来说成立，那么成立，那么命命题对于于k也成立；也成立；那么命那么命题对于一切自然数于一切自然数n来来说都成立都成立.数学数学归纳法可以推行到良序集合上，即所法可以推行到良序集合上，即所谓超限超限归纳原原理。

理1.4 整数的一些整除性质一、内容分布一、内容分布  1.4.1 整除与整除与带余除法余除法  1.4.2 最大公因数最大公因数  1.4.3  互素互素  1.4.4 素数的素数的简单性性质二、教学目的二、教学目的  1.了解和掌握整除及其性了解和掌握整除及其性质  2.掌握最大公因数性掌握最大公因数性质、求法  3.了解互素、素数的了解互素、素数的简单性性质三、重点、三、重点、难点点   整除、最大公因数性整除、最大公因数性质、互素有关的、互素有关的证明明 1.4.1 整除与带余除法 设设a，，b是两个整数，假设存在一个整数是两个整数，假设存在一个整数d，使得，使得b=ad，，那么就说那么就说a整除整除b〔或者说〔或者说b被被a整除〕用符号整除〕用符号a | b表表示示a整除整除b这时a叫做叫做b 的一个因数，而的一个因数，而b叫做叫做a的一个的一个倍数假设倍数假设a不整除不整除b，那么就记作，那么就记作       . 整除的根本性整除的根本性质：：①①②② ③③④④⑤⑤每一个整数都可以每一个整数都可以1和和 - 1整除 每一个整数每一个整数a都可以被它本人和它的相反数都可以被它本人和它的相反数 - a整整除除 ⑥⑥⑦⑦定理定理1.4.1〔带余除法〕〔带余除法〕  设设a，，b 是整数且是整数且           ，那么，那么存在一对整数存在一对整数q和和r，使得，使得满足以上条件整数足以上条件整数q和和r 的独一确定的。

的独一确定的证证    令令                                          由于        ，所以，所以S 是是N 的一个非空子集根据最小数定理〔对于的一个非空子集根据最小数定理〔对于N〕，〕，S 含有含有一个最小数也就是说，存在一个最小数也就是说，存在         ，使得，使得r=b-aq是是S 中最小数于是中最小数于是b=aq+r，并且，并且         假设           ，那，那么么                            ，而，而 所以所以                       这是与r是是S中最小数的现实矛盾中最小数的现实矛盾因此因此           . 假设还假设还                  ，使得，使得 于是就有于是就有                          假设                 那么那么由此或者由此或者                       ，或者，或者                        不论是哪不论是哪一种情形，都将导致矛盾这样必需一种情形，都将导致矛盾。

这样必需                ，从而，从而               ，也就是说，也就是说                             1.4.2 最大公因数设a，，b是两个整数，是两个整数，满足以下条件的整数足以下条件的整数 d 叫做叫做a与与b的最大公因数：的最大公因数： ；； ①① 假设假设 ②②①①普通地，设普通地，设                    是是n 个整数满足以下条件的整个整数满足以下条件的整数数d 叫做叫做                     的一个最大公因数：的一个最大公因数： ②②定理定理1.4.2    恣意恣意              个整数个整数                    都有最大公都有最大公因数假设因数假设d是是                   的一个最大公因数，那么的一个最大公因数，那么 - d 也是一个最大公因数；也是一个最大公因数；                 的两个最大公因数至的两个最大公因数至多只相差一个符号多只相差一个符号证证  由最大公因数的定义和整除的根本性质，最后一个由最大公因数的定义和整除的根本性质，最后一个结论是明显的。

结论是明显的现证，恣意现证，恣意n个整数个整数                    有最大公因数假设有最大公因数假设                               ，那么，那么0显然就是显然就是                   的最大的最大公因数，设公因数，设                   不全为零思索不全为零思索Z 的子集的子集 I 显然不是空集，由于对于每一个显然不是空集，由于对于每一个i 又由于又由于                   不全为零，所以不全为零，所以I 含有非零整数因含有非零整数因此此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，    有有一个最小数一个最小数d我们说，我们说，d 就是就是                   的一个最大的一个最大公因数 首先，由于首先，由于            ，所以，所以d >0并且并且d 有方式有方式又由带余除法，有又由带余除法，有 定理定理1.4.3  设设d是是                  的一个最大公因数那么存的一个最大公因数那么存在整数在整数                  ，使得，使得                                         。

假设某一假设某一             ，如，如          ，那么，那么 而而          这与d是是      中的最小数的现实矛盾这样，中的最小数的现实矛盾这样，必需一切必需一切          ，即，即                      另一方面，假设另一方面，假设                                  那么                                                     这就证明了这就证明了d 是是                    的一个最大公因数的一个最大公因数 证证  假设假设                                  ，那么，那么d = 0，定理显然成，定理显然成立设                    不全为零，由定理不全为零，由定理1.4.2的证明，知的证明，知        ，，.因此存在因此存在                       ，使得，使得                                        1.4.3 互素设a，，b是两个整数，假是两个整数，假设〔〔a, b〕〕=1，那么就，那么就说a与与 b互素。

普通地，互素普通地，                 是是n个整数，假个整数，假设                    ，那么就，那么就说这n个整数个整数                   互素 〔〔1 1〕〕 定理定理1.4.4   n 个整数个整数                  互素的充分且必要条件互素的充分且必要条件是存在整数是存在整数                 ，使得，使得 证证    假设假设                   互素，互素， 那么由定理那么由定理1.4.2立刻得到立刻得到等式〔等式〔1〕成立反过来，设等式〔〕成立反过来，设等式〔1〕成立令〕成立令                                       那么c能整除〔能整除〔1〕式中的左端所〕式中的左端所以以c | 1，因此，因此c =1,即即                              1.4.4 素数的简单性质一个正整数一个正整数p>1叫做一个素数，假叫做一个素数，假设除除±1和和±p外，没有外，没有其它因数其它因数定理定理1.4.5  一个素数假一个素数假设带队两个整数两个整数a 与与b的乘的乘积，，那么它至少整除那么它至少整除a 与与b中的一个。

中的一个证证   设设p是一个素数，假设是一个素数，假设p | ab，但，但        ，由上面所指，由上面所指出的素数的性质，必定有〔出的素数的性质，必定有〔p, a〕〕=1于是由定理于是由定理1.4.4，存在整数，存在整数s 和和t 使得使得  sp + ta = 1两边同乘以两边同乘以b ：：spb + tab =b .左边的第一项自然能被左边的第一项自然能被p整除；又由于整除；又由于p | ab，所以左，所以左边第二项也能被边第二项也能被p整除于是整除于是p整除左边两项的和，从整除左边两项的和，从而而p | b. 1.5 数环和数域定定义1    设S是复数集是复数集C的一个非空子集，假的一个非空子集，假设对于于S中中恣意两个数恣意两个数a, b 来来说，，a +b, a – b, ab 都在都在S内，那么内，那么就称就称S是一个数是一个数环例例1取定一个整数取定一个整数a ，令，令           那么那么S是一个数环现实上，是一个数环现实上，S显然不是空集显然不是空集           设设                那么如取如取a =2，那么，那么S就是全体偶数所组成的数环。

就是全体偶数所组成的数环 例例2令令                                          . S显然不是空集，假显然不是空集，假设设                            ，那么，那么定定义2 2 设F F 是一个数是一个数环，假，假设①①   F 含有一个不等于零的数；含有一个不等于零的数；②②   假假设，，那么就称那么就称F 是一个数域是一个数域例例3令令                                    ，那么，那么F是一个数域首先，是一个数域首先，容易看出，容易看出，F是一个数是一个数环，并且，并且                        ，所以，所以①①成立现设现设                       ，那么，那么                     否那么当否那么当d =0 的情形将得出的情形将得出c = 0，这与，这与                   矛盾；在矛盾；在         的的情形将得出情形将得出                    这与是无理数矛盾因此这与是无理数矛盾。

因此这就证明了这就证明了F 是一个数域是一个数域定理定理1.5.1 1.5.1 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数域Q Q证  设F 是一个数域那么由条件是一个数域那么由条件①①，，F 含有一逐含有一逐渐构构成不等于成不等于0的数的数a ，再由条件，再由条件②②，，             用1 和它本和它本人反复相加，可得全体正整数，因此全体正整数都属于人反复相加，可得全体正整数，因此全体正整数都属于F另一方面，另一方面，                      ，所以，所以F也含有也含有0与任一正与任一正整数的差，亦即全体整数的差，亦即全体负整数由于整数由于F含有全体整数含有全体整数这样，，F 也含有意也含有意图两个整数的商〔分母不两个整数的商〔分母不为0〕，因此，〕，因此，F 含有一切有理数含有一切有理数。