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公平席位的分配数学(2)班 学号0907022008 彭凯摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’ hondt 法对问题中名额进行了分配，再对D’ hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾 数(绝对不公平度)的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理 的1，3, 4条关键词：相对尾数 Balinsky & Young不可能定理1问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领 域具有广泛的应用价值处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后 来出现了 Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究 方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能 根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法这里，我们需要理 解并运用比例加惯例法、Q值法、D’ hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的 公平分配席位的方法2模型假设2.1合理假设2.1.1比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知；2.1.2各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；2.1.3委员分配以各宿舍人数为唯一权重。

2.2符号约定符号意义Qi第i个宿舍的Q值ni第i个宿舍的人数mi第i个宿舍分配的名额n总人数m总名额数pi第i个宿舍的理想分配名额pi总席位增加一个时第i个宿舍的理想分配名额qin —im 第i个宿舍的分配比例，即ns i第i个宿舍的绝对尾数值ri第i个宿舍的相对尾数值—ri总席位增加一席时第i个宿舍的相对尾数值t按比例分配后剩余名额3模型的建立与求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理表 表1（比例加惯例法分配结果）：10个席位的分配15个席位的分配宿舍学生人数比例分配 的席位惯例分配 的结果比例分配 的席位惯例分配 的结果A2352334B3333345C4324466总数10009101315n 2im (m +1) i = A, B, C3.2按Q值法模型分配Q =首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式i 对剩下的名额进行分配表2（Q值法分配结果）：宿舍学生人数10个席位的分配15个席位的分配比例分配 名额Q值最终分配 名额比例分配 名额Q值最终分配名额A23529204.17234602.084B33339240.75345544.455C43249331.2564443.436总数100091013153.3 D’ hondt 模型3.3.1 模型建立设n，m分别表示宿舍总人数和总分配席位数， ni （' = 1,2,3 ）表示各宿舍人数，令lJ j （i = 1,2,3,村1,2,…），则得到一个数列'J，将该数列按递减顺序重新排列，得很 如）很， 新｝到lj ，其中iJ表示lj中第k大的项。

取lj中前m项，则相应得到m = #a,）｝（k=1,2,...,m）中，二〃的元素的个数｝（ p = 1,2,3） mD’ hondt模型分配的结果3.3.2 按D’ hondt模型分配附录-输入及运根据建立的D’ hondt模型，编写MATLAB程序求出结果（附件-程序6, 行结果3）：表3（D’ hondt模型分配结果）：宿舍人数10个名额的分配15个名额的分配A23523B33335C43257总数100010153.4 相对尾数模型3.4.1模型准备讨论一般情况:k个宿舍人数分别为七,'=1,2,…,k ,总人数为n = « *…+气,待分配m =立p的席位为m个，理想化的分配结果是p （ ‘ = 1,2,…,k ）,满足 ;=1 '，记nq = ~Tm ；-1 9 t n n r> ；-1 9 t n1 n ("提'…/)显然，若q全为整数，应有q = Pl (" 1,2,.・., k ),当q不全为整 数时,需要确定同时满足下面公理的分配方案公理—.'qJ — P. — 'qJ （，= L2，...,k ）即 p.取'q.'或'q'之一-其中公理 ： i - i i + （ ）,即 i取 i -取 i +之 ，其中[q ] [q ] [q ] [q.]+1 [q L* 占八，-=i , ，+ = i , i表示i的整数部分。

八壬田一-P （m，n，n，…，n ） — p （m + 1，n，n，…，n ） i = 1,2,..., k 日 南/十+曲而 nH-公理一：i 1 2 k i 1 2 k , ,即总席位增加时，各宿舍的席位数不应该减少[q ]公理一显然满足Balinsky & Young不可能定理（见附录）中的公理4 （公平分摊性），公理—hmns =—hm - . , ,i n一满足其的公理（（人口单调性）和公理3（名额单调性）令. r G .称其为对第i个宿舍的绝对尾数值令 / -,称其为对第i个宿舍的相对尾数值3.4.2模型建立与求解 一 一一r 一 … 由于人数都是整数，为使分配趋于公平，需所有的i越小越好，所以趋于公平的分配方案rr 应该是最大的r达到最小，即所有的r达到最小为方便起见，首先考虑只有两个宿舍的情形，即k = 2 , 1 2 ,且1 2 , ^1和％不全是整数（实际上,他们同为整数或小数）记Pi , !为总席位增加一席时的分配结果和相对尾数给出定理：定理：以下分配方案满足公理一,二，1)P2 =即按比例加惯例法分配;2)r > r P1 = Um +1若 1 2则取L n」一np2=brm—-;3)nr v r P1=U m若 1 \>，则取 L "定理证明见附录。

P2 =按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论设1,七，七全部为零（实际上，如果有一个为零,即是按两个宿舍分配），可以做以下分配:1）当1 = L = L时，按比例分配取整后，剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按 比例加惯例法分配;2） 当1 > L =七时,按比例分配后，若剩余一个席位，则分配给第一个宿舍，若剩余两 个席位，则分配一席给第一个宿舍，另外一席分配给第二三个宿舍中绝对尾数值较大者；3） 当1 = 3 >七时，按比例分配后，若剩余一个席位分配给第一二个宿舍中绝对尾数 值较大者，若剩余两个席位，则分配给第一二宿舍各一席；4） 当1 > L >七时，按比例分配后，若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两 个席位，则分配给第二个宿舍k r r r r > r >... > r r 丰 r一般地，对"个宿舍，设1 , 2，…，n不全为零，且12 k，则当t t+1时，t = m — E将剩余的i=1r >r r >r 」-个席位分配给第一至第t个宿舍各一席，当t—1 t t+1 t+2时，n—imni=1个席位分配给第一至第t — 1个宿舍及1和［+1较大的宿舍各一席，t = m-Ei=1n—imn个席位分配给第一至第t -1A. T7 S S S 击 K + 4力存 r > r = r 1 V S, S< k — t、|宿舍及t， t+1，„ t+s中较大的宿舍各一席，当t—s t—S+1 t+ss ( )，寸 n t = m-X —i~mi=1Ln」-个席位分配给第一至第t-s个宿舍及St, St+i，…七+s中s个较大的所对应的宿舍各一席。

表4 （尾数法分配结果）：宿舍人数10个名额的分配15个名额的分配A23534B33335C43246总数100010154模型检验及结果分析席位分配的尾数模型满足Young公理的1、3、4条，是以严格证明了的定理形式给出 对按上述四种分配模型分配的结果列表比较表5 （各方法分配结果的比较1）：宿舍学生人数20个席位的分配21个席位的分配BQDRBQDRA1031011111011111110B6366667677C3443343434总数2002020202021212121表6 （各方法分配结果的比较2）：宿舍学生人数10个席位的分配15个席位的分配BQDRBQDRA23532234434B33333335555C43245546676总数10001010101015151515表格中，B表示比例加惯例法，Q表示Q值法，D表示D,hondt法，R表示相对尾数法比例加惯例”法用各团体人数占团体总人数的比例乘以总席位数取其整数位为第一 次分配，再次分配时，则按小数位的大小分，大的先分配，直到席位分完从表4看到，当 总席位数增加时，C宿舍分得的席位却减少；Q值法利用相对不公平度建立了衡量不公平程度的数量指标，进而将席位分给最不公平 的一方。

D’hondt方法将各团体的人数用正整数相除，其商数组成一个表，将数从大到小取，直 到取得的商数的个数等于总席位数，统计出每个团体被取到的商数的个数，即为该团体分 得的席位数5优缺点分析及改进从对模型的检验与分析可以看到，上面讨论的三个模型都有自身的不足：比例加惯例法 满足公理一，却不满足公理二；Q值法满足公理二但不满足公理一；D’ hondt法也不能解决 对每个宿舍成员公平的大小问题；尾数法虽然满足公理一和二，但由于两个公理本身只满足 Young公理体系的部分，也不尽完美优点：尾数模型打破Q值法的对绝对尾数的比较方法，以相对尾数来讨论，使得模型满 足了 Young公理体系中更多的公理，虽不尽完善，但相比之前的四种方法是很大的改进并 且，这种对已有方法改进的思想很有启发意义改进：本文中只给出了尾数法对3个宿舍的名额分配程序，对不定数量宿舍的分配没能 程序实现，是可以改进的6模型的具体意义人生活在这个经济的社会，每个人或多或少都是一个经济人，即以自己最小的经济代价 去获取自己最大的经济利益，但是经济人永无止尽的欲望与有限的资源发生了矛盾，因此人 们都尽自己最大的努力使自己获得最大资源和利益。

如此，每个人都这样做，或多或少会引 起其他人的不满，造成人与人之间和社会内部的矛盾，经过长久的博弈之后，人们决定让每。