2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）Word版含解析.docx

2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）数学(时间：120分钟　满分：150分)注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·保定模拟)设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B等于(　　)A．{2} B．{2,3}C．{3,4} D．{2,3,4}答案　B解析　由x2－2x－8<0，解得－20，显然|a|≥|b|，反之不一定成立，如a＝－3，b＝－2时，满足|a|≥|b|，但是lg a与lg b无意义，所以“|a|≥|b|”是“lg a≥lg b”的必要不充分条件．4．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为(　　)A. B.C. D.答案　B解析　由a＋b＝(，1)可得|a＋b|＝＝2，则|a＋b|2＝4，所以a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故a·b＝0，则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2，故cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－，由于〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，故〈a＋b，a－b〉＝.5．函数f(x)＝x－sin x的图象可能是(　　)答案　A解析　因为f(－x)＝－x＋sin x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除BD；当x＝－时，f(x)＝×－sin＝－＋>0，故排除C.6．(2023·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为(　　)A. B.C．2 D.答案　A解析　由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，斜率k1＝或－，直线2x－y＋1＝0的斜率k2＝2，因为两直线垂直，所以k1·k2＝－1，即2×＝－1(∵a>0，b>0，显然不符合题意)，或2×＝－1，则a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.7.(2023·大同模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为(　　)A. B. C. D.答案　A解析　如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，又D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D⊂平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因为D1M⊂平面D1DM，所以D1M⊥AE，同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接形成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为(　　)图1　　　　　图2　　　　　图3A. B．1C. D.答案　A解析　设第n个正三角形的边长为an，则第n＋1个正三角形的边长为an＋1，由条件可知，a1＝243，又由图形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos 60°，所以a＝a，an>0，所以＝，所以{an}是首项为243，公比为的等比数列，所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，所以最小的正三角形的面积为×××＝.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是(　　)A．频率分布直方图中a＝0.005B．此次比赛得分及格的共有55人C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80)的概率为0.75D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75分答案　AD解析　由图可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，解得a＝0.005，故A正确；比赛得分及格的人数为(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B错误；成绩在[50,80)内的频率为(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；设第80百分位数为(70＋x)分，则有×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确．10．下列说法正确的是(　　)A．通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势B．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)＝C．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为8D．若n的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中x2项的系数为－80答案　BC解析　对于A，通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故A错误；对于B，因为随机变量X～N(0，σ2)，P(|X|<2)＝P(－22)＝，故B正确；对于C，样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，故C正确；对于D，由题知2n＝32，得n＝5，故二项式为5，展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－kk＝(－1)k·25－k·C·，显然当k＝2时，可得x2项的系数为(－1)2·23·C＝80，故D错误．11．(2023·济南模拟)已知a＝(cos x，sin x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b，则下列选项正确的是(　　)A．函数f(x)的值域为B．将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，可得函数f(x)的图象C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为答案　ABD解析　f(x)＝a·b＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin＋，对于A，因为sin∈[－1,1]，所以f(x)∈，故A正确；对于B，将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin 2x＋，再将所得图象向左平移个单位长度，得y＝sin 2＋＝sin＋＝f(x)，故B正确；对于C，因为f ＝0，f ＝，所以函数f(x)不是奇函数，故C错误；对于D，令f(x)＝0，则sin＝－，则2x＋＝－＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝－＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，因为x∈[0,2π]，所以x＝或或或，所以函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为＋＋＋＝，故D正确．12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是(　　)A．∠OMB的最大值为B．若点A(4,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMCD．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线答案　ACD解析　对于选项A，设直线MB：x＝－1＋my，联立得y2－4my＋4＝0，当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1.直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值，故A正确；对于选项B，A(4,2)，则A在准线x＝－1上的射影为A′(－1,2)，设P到准线x＝－1的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|A′A|＝5，当且仅当A′，P，A三点共线时等号成立，故B不正确；对于选项C，由题意知，M(－1,0)，且l的斜率不为0，则设l方程为x＝my＋1(m≠0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线l与抛物线的方程整理得y2－4my－4＝0，Δ＝16(m2＋1)>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝－4m2＋4m2＋1＝1.则kMB＋kMC＝＋＝＝＝＝0.故直线MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC，故C正确；对于选项D，由题意知D(－1，y2)，由选项C知，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则kOB＝＝＝，kOD＝－y2，由kOB－kOD＝＋y2＝＝0，知kOB＝kOD，即B，O，D三点在同一条直线上，故D正确．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若sin α＋2cos α＝0，则tan＝________.答案　3解析　因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，tan α＝－2，故tan＝＝＝3.14．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．答案　f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)解析　若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以同时满足①②两个条件的函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．15．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为________．答案　解析　设底面圆的半径为r，当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，此时S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，∵△SAB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝＝，则(2r)2。