重2025人教版高中数学精讲精练选择性必修二难点2 数列的求和方法（精练）（解析版）.docx

重难点2 数列的求和方法（精练）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若数列的通项公式（），则的前项和（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，故选：C2．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，，则数列的前2022项和为（    ）A．1010 B．1011 C．2021 D．2022【答案】D【解析】根据等差数列的性质可知，，所以，设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以，设数列的前项和为，则，.故选：D3．（2023春·广东惠州·高二校考期中）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，当时，，当时，，当时，也满足，∴ 数列的通项公式为，， 故选：C4．（2022春·广东·高二校联考阶段练习）等差数列中，，设，则数列的前61项和为（    ）A． B．7 C． D．8【答案】C【解析】因为等差数列满足，所以，所以，所以，令数列的前项和为，所以数列的前n项和，所以．故选：C．5．（2023·广东珠海·高二统考期末）已知数列的通项公式是，则（    ）A．10100 B．-10100 C．5052 D．-5052【答案】D【解析】∵∴∴.故选：D.6．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以由得：当时，即当时，当时，所以n的最大值是.故选：B.7．（2023·广东广州 ）已知函数，则（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，记，则，所以，故.故选C.8（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，即，当时，，又，则满足，故对任意的，，则，，易知是递增数列，所以，数列的最小值是，由题意，整理可得，解得．故选：B．二． 多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023秋·山东威海 ）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，故A正确；由知，，两式相减得，故，故当时，为常数列，故，故，故，故B正确；，故C错误；，故，故D正确.故选：ABD.10．（2023秋·广东 ）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（    ）A．数列是等比数列B．数列是等比数列C．D．数列的前n项的和【答案】BC【解析】由题意数列的首项，且满足，则，则，故数列不是等比数列，A错误；由得，，否则与矛盾，则，则数列是等比数列，B正确；由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，则，所以，C正确；数列的前n项的和为，D错误.故选：BC11．（2023春·广东惠州·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）A．B．数列是公比为8的等比数列C．若，则数列的前2020项和为4040D．若，则数列的前2020项和为【答案】CD【解析】设等差数列的公差为，则由，，得，解得，所以，，对于A，，，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，所以数列是公比为的等比数列，所以B错误，对于C，因为，所以数列的前2020项和为，所以C正确，对于D，因为，所以数列的前2020项和为，所以D正确，故选：CD12.（2023春·江西九江·高二统考期末）提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ）A．数列的通项公式为B．数列的第20项为C．数列的前10项和为157.3D．数列的前项和【答案】CD【解析】数列各项乘以10后再减4得到数列，故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故A错误；从而，所以，故B错误；数列的前10项和为，C正确；因为，所以当时，，当时，，，所以，所以，又当时，也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.三． 填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023秋·四川内江 ）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为 .【答案】【解析】因为，所以，因此，所以的取值范围为故答案为：14．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）数列中，则数列的前100项的和 .【答案】【解析】,可得，当,为奇数时为偶数时故答案为: .15．（2023秋·河北 ）将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 .  【答案】【解析】由题意，设数阵中所有数据的和为，则①，②，由①-②得：，所以.故答案为：16．（2024·陕西宝鸡 ）已知等差数列是递增数列，且满足，令，且，则数列的前项和= .【答案】【解析】由题意，递增数列满足，可得是方程的两根，且，解得，设数列的公差为，可得，所以数列的通项公式为，可得，又，所以.故答案为：四． 解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023春·广东广州·高二执信中学校考期末）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，因为，所以，解得，所以，由题意知：，因为，所以，解得，所以；（2）由（1）得，.18．（2023秋·广东揭阳 ）已知数列的前n项和为，且满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)记，数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）依题意，当时，.两式相减，得，即，当时，有，解得.所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，所以.则，所以，由，则，所以，故.19．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列满足，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）∵，当时，，两式相减得：，整理得，       ∵，∴，当时，，∴（舍）或，                                        ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；（2）由（1）知，，   ∴，∵，∴，即．20．（2022秋·天津滨海新 ）已知数列满足，，令，设数列前项和为.(1)求证：数列为等差数列；并求数列的通项公式；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见详解；，(2)【解析】（1）解：由题意，∵，∴，又由，∴，数列为等差数列，，.∴，∴，.（2）解：由（1）知，所以有，所以存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，∴.∵，当且仅当，即时等号成立；所以有，.∴实数的取值范围是.21．（2023秋·广东 ）已知数列的首项，其前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知，∴时，，两式相减，得，即，从而，又当时，，∴又，∴，从而．故总有，．又∵，∴，从而．即是以为首项，公比为3的等比数列．∴，∴，（2）由（1）知．∴．设，设前项和为，则①，②①－②有，故，从而.22．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求其前项和【答案】(1)(2)【解析】（1）因为， 所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，两式作差得：，化简得：即，所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为；（2）方法一：设，则有，比较系数得，所以所以，所以，所以.方法二：因为，所以，所以，所以，所以.。