热点专题突破系列(三)数列的综合应用 考 点考 点考 情 分 析考 情 分 析等差数列等差数列与等比数与等比数列的列的综综合合问题问题等差、等比数列相等差、等比数列相结结合的合的问题问题是高考考是高考考查查的重点的重点(1)(1)综综合考合考查查等差数列与等比数列的定等差数列与等比数列的定义义、通、通项项公式、公式、前前n n项项和公式、等差和公式、等差( (比比) )中中项项、等差、等差( (比比) )的性的性质质(2)(2)重点考重点考查查基本量基本量( (即即““知三求二知三求二””, ,解方程解方程( (组组))))的的计计算以及灵活运用等差、等比数列的性算以及灵活运用等差、等比数列的性质简质简化解决化解决问问题题 考 点考 点考 情 分 析考 情 分 析数列与函数列与函数的数的综综合合问题问题数列与函数的特殊关系数列与函数的特殊关系, ,决定了数列与函数交决定了数列与函数交汇汇命命题题的自然性的自然性, ,是高考命是高考命题题的易考点的易考点, ,主要考主要考查查方式有方式有: :(1)(1)以函数以函数为载为载体体, ,考考查查函数解析式的求法函数解析式的求法, ,或者利用或者利用函数解析式函数解析式给给出数列的出数列的递递推关系、数列前推关系、数列前n n项项和的和的计计算方法算方法(2)(2)根据数列是一种特殊的函数根据数列是一种特殊的函数这这一特点命一特点命题题, ,考考查查利用函数的利用函数的单调单调性来确定数列的性来确定数列的单调单调性、最性、最值值或或解决某些恒成立解决某些恒成立问题问题 考 点考 点考 情 分 析考 情 分 析数列与不数列与不等式的等式的综综合合问题问题数列与不等式的数列与不等式的综综合合问题问题是高考考是高考考查查的的热热点点. .考考查查方式主要有三种方式主要有三种: :(1)(1)判断数列判断数列问题问题中的一些不等关系中的一些不等关系, ,如比如比较较数列中数列中的的项项的大小关系等的大小关系等(2)(2)以数列以数列为载为载体体, ,考考查查不等式的恒成立不等式的恒成立问题问题, ,求不等求不等式中的参数的取式中的参数的取值值范范围围等等(3)(3)考考查查与数列与数列问题问题有关的不等式的有关的不等式的证证明明问题问题数列的数列的实实际应际应用用问问题题此此类试题类试题一般一般围绕围绕着着现实现实生活中的人口的增生活中的人口的增长长、、产产量的增加、成本的降低、存量的增加、成本的降低、存贷贷款利息的款利息的计计算、算、分期付款等客分期付款等客观观背景背景进进行行设设置置, ,它不它不仅仅涉及数列中涉及数列中的基本知的基本知识识和方法和方法, ,还还往往涉及其他学科的知往往涉及其他学科的知识识和和常常识识 考点考点1 1 等差数列与等比数列的等差数列与等比数列的综综合合问题问题 【【典例典例1 1】】(2014(2014··南昌模南昌模拟拟) )已知已知{a{an n} }是是单调递单调递增的等差数列增的等差数列, ,首首项项a a1 1=3,=3,前前n n项项和和为为S Sn n, ,数列数列{ {b bn n} }是等比数列是等比数列, ,首首项项b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,S=12,S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求{a{an n} }和和{ {b bn n} }的通的通项项公式公式. .(2)(2)令令c cn n= =S Sn ncos(acos(an nπ)(n∈Nπ)(n∈N* *),),求求{ {c cn n} }的前的前n n项项和和T Tn n. . 【【解题视点解题视点】】(1)(1)利用利用““基本量法基本量法””, ,用首项和公差用首项和公差( (比比) )表示已表示已知等式知等式, ,解得公差解得公差( (比比),),再用通项公式求解再用通项公式求解. .(2)(2)用用(1)(1)的结论表示出的结论表示出c cn n, ,再分再分n n是偶数与是偶数与n n是奇数两种情况讨论是奇数两种情况讨论求和求和. . 【【规范解答规范解答】】(1)(1)设数列设数列{a{an n} }的公差为的公差为d,d,数列数列{ {b bn n} }的公比为的公比为q,q,则则a a2 2b b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为因为{a{an n} }是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,所以所以d>0,d>0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)××3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. . (2)(2)由由(1)(1)知知c cn n=S=Sn ncos3nπ=cos3nπ=①①当当n n是偶数时是偶数时, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +……+c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -……-S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +……+a+an n=6+12+18+=6+12+18+……+3n=+3n= ②②当当n n是奇数时是奇数时, ,T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= = =- (n+1)=- (n+1)2 2. .综上可得综上可得, ,T Tn n= = 【【规律方法规律方法】】等差数列、等比数列等差数列、等比数列综合问题的解题策略综合问题的解题策略(1)(1)分析已知条件和求解目标分析已知条件和求解目标, ,确定为最终解决问题需要首先求确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题解的中间问题, ,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差求出首项和公差( (公比公比) )等等, ,确定解题的顺序确定解题的顺序. .(2)(2)注意细节注意细节. .在等差数列与等比数列综合问题中在等差数列与等比数列综合问题中, ,如果等比数如果等比数列的公比不能确定列的公比不能确定, ,则要看其是否有等于则要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在数列的通在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等, ,这些细这些细节对解题的影响也是巨大的节对解题的影响也是巨大的. . 提醒提醒: :在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论, ,分类解决问题后还要注意结论的整合分类解决问题后还要注意结论的整合. . 【【变变式式训练训练】】(2014(2014··潍潍坊模坊模拟拟) )在等比数列在等比数列{a{an n} }中中, ,已知已知a a1 1=3,=3,公比公比q≠1,q≠1,等差数列等差数列{ {b bn n} }满满足足b b1 1=a=a1 1,b,b4 4=a=a2 2,b,b1313=a=a3 3. .(1)(1)求数列求数列{a{an n} }与与{ {b bn n} }的通的通项项公式公式. .(2)(2)记记c cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n, ,求数列求数列{ {c cn n} }的前的前n n项项和和S Sn n. . 【【解析解析】】(1)(1)设等差数列设等差数列{ {b bn n} }的公差为的公差为d.d.由已知得由已知得:a:a2 2=3q,a=3q,a3 3=3q=3q2 2, ,b b1 1=3,b=3,b4 4=3+3d,b=3+3d,b1313=3+12d,=3+12d, q=3 q=3或或q=1(q=1(舍去舍去),),所以此时所以此时d=2,d=2,所以所以a an n=3=3n n,b,bn n=2n+1.=2n+1. (2)(2)由题意得由题意得:c:cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n=(-1)=(-1)n n(2n+1)+3(2n+1)+3n n, ,S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+ +……+c+cn n=(-3+5)+(-7+9)+=(-3+5)+(-7+9)+……+(-1)+(-1)n-1n-1(2n-1)+(2n-1)+(-1)(-1)n n(2n+1)+3+3(2n+1)+3+32 2+ +……+3+3n n, ,当当n n为偶数时为偶数时,S,Sn n= =当当n n为奇数时为奇数时,S,Sn n=(n-1)-(2n+1)+=(n-1)-(2n+1)+ 【加固【加固训练训练】】在公差在公差为为d(d≠0)d(d≠0)的等差数列的等差数列{a{an n} }和公比和公比为为q q的等的等比数列比数列{b{bn n} }中中,a,a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3. .(1)(1)求数列求数列{a{an n} }和和{ {b bn n} }的通的通项项公式公式. .(2)(2)令令c cn n= =a an n··b bn n, ,求数列求数列{ {c cn n} }的前的前n n项项和和T Tn n. . 【解析】【解析】(1)(1)因为因为a a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3, ,所以所以解之得解之得 所以所以a an n=2n-1,b=2n-1,bn n=3=3n n. .(2)(2)因为因为c cn n=a=an n··b bn n=(2n-1)=(2n-1)··3 3n n. .所以所以T Tn n=1=1××3+33+3××3 32 2+5+5××3 33 3+ +……+(2n-1)+(2n-1)××3 3n n, ,所以所以3T3Tn n=1=1××3 32 2+3+3××3 33 3+ +……+(2n-3)+(2n-3)××3 3n n+(2n-1)+(2n-1)××3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2=3+2××3 32 2+2+2××3 33 3+ +……+2+2××3 3n n-(2n-1)-(2n-1)××3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2(3=3+2(32 2+3+33 3+ +……+3+3n n)-(2n-1))-(2n-1)××3 3n+1n+1=3+2=3+2×× -(2n-1) -(2n-1)××3 3n+1n+1, ,所以所以T Tn n=3+(n-1)=3+(n-1)××3 3n+1n+1. . 考点考点2 2 数列与函数的数列与函数的综综合合问题问题 【【典例典例2 2】】已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2x-logx-logx x2(0a>an n, ,所以所以{a{an n} }是递增数列是递增数列. .方法二方法二: :因为因为又因为又因为a an n<0,<0,所以所以a an+1n+1>a>an n, ,所以所以{a{an n} }是递增数列是递增数列. . 【【规律方法规律方法】】数列与函数的综合问题的常见类型及数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略解题策略(1)(1)已知函数条件已知函数条件, ,解决数列问题解决数列问题, ,此类问题一般利用函数的性此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题质、图象研究数列问题. .(2)(2)已知数列条件已知数列条件, ,解决函数问题解决函数问题, ,解决此类问题一般要充分利解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. .另外另外, ,解题时解题时要注意数列与函数的内在联系要注意数列与函数的内在联系, ,灵活运用函数的思想方法求解灵活运用函数的思想方法求解, ,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列在问题的求解过程中往往会遇到递推数列, ,因此掌握递推数列因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决的常见解法有助于该类问题的解决. . 解决数列与函数综合问题的注意点解决数列与函数综合问题的注意点(1)(1)数列是一类特殊的函数数列是一类特殊的函数, ,其定义域是正整数集其定义域是正整数集, ,而不是某个而不是某个区间上的连续实数区间上的连续实数, ,所以它的图象是一群孤立的点所以它的图象是一群孤立的点. .(2)(2)转化以函数为背景的条件时转化以函数为背景的条件时, ,应注意题中的限制条件应注意题中的限制条件, ,如函如函数的定义域数的定义域, ,这往往是非常容易忽视的问题这往往是非常容易忽视的问题. .(3)(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时利用函数的方法研究数列中相关问题时, ,应准确构造函数应准确构造函数, ,注意数列中相关限制条件的转化注意数列中相关限制条件的转化. . 【【变变式式训练训练】】(2014(2014··中山模中山模拟拟) )已知已知f(xf(x)= )= 数列数列{a{an n} }的前的前n n项项和和为为S Sn n, ,点点P Pn n 在曲在曲线线y=y=f(xf(x) )上上( (n∈Nn∈N* *),),且且a a1 1=1,a=1,an n>0.>0.(1)(1)求数列求数列{a{an n} }的通的通项项公式公式. .(2)(2)数列数列{ {b bn n} }的前的前n n项项和和为为T Tn n, ,且且满满足足 +16n +16n2 2-8n-3, -8n-3, b b1 1=1,=1,求数列求数列{ {b bn n} }的通的通项项公式公式. .(3)(3)求求证证: : 【【解析解析】】(1)(1)所以所以所以数列所以数列 是等差数列，首项为是等差数列，首项为 =1=1，公差，公差d=4.d=4.所以所以 =1+4(n-1) =1+4(n-1)，，所以所以所以所以 (2)(2)由由得得(4n-3)T(4n-3)Tn+1n+1=(4n+1)T=(4n+1)Tn n+(4n-3)(4n+1),+(4n-3)(4n+1),所以所以所以数列所以数列 是等差数列，首项为是等差数列，首项为 =1,=1,公差为公差为1.1.所以所以 =n,=n,所以所以T Tn n=4n=4n2 2-3n,-3n,当当n≥2n≥2时，时，b bn n=T=Tn n-T-Tn-1n-1=8n-7,b=8n-7,b1 1=1=1也满足上式也满足上式. .所以所以b bn n=8n-7,n∈N=8n-7,n∈N* *. . (3)(3)因为因为 考点考点3 3 数列与不等式的数列与不等式的综综合合问题问题 【【典例典例3 3】】(2013(2013··广广东东高考高考) )设设数列数列{a{an n} }的前的前n n项项和和为为S Sn n, ,已知已知a a1 1=1, =a=1, =an+1n+1- n- n2 2-n- ,n∈N-n- ,n∈N* *. .(1)(1)求求a a2 2的的值值. .(2)(2)求数列求数列{a{an n} }的通的通项项公式公式. .(3)(3)证证明明: :对对一切正整数一切正整数n,n,有有 【【解题视点解题视点】】(1)(1)将将n=1n=1代入已知等式中代入已知等式中, ,化简求值化简求值. .(2)(2)根据通项与前根据通项与前n n项和的关系项和的关系, ,通过降低角标的方法导出通过降低角标的方法导出a an n与与a an+1n+1满足的递推关系满足的递推关系, ,进而得到数列进而得到数列{a{an n} }的通项公式的通项公式. .(3)(3)根据根据(2)(2)的结果的结果, ,放缩后求和放缩后求和, ,进而证得结论进而证得结论. . 【【规范解答规范解答】】(1)(1)因为因为a a1 1=1,=1,在在 =a=an+1n+1- n- n2 2-n- -n- 中令中令n=1,n=1,可可得得a a2 2=4.=4.(2)(2)由已知可得由已知可得2S2Sn n=na=nan+1n+1- n- n3 3-n-n2 2- n,- n,即即2S2Sn n=na=nan+1n+1- - 则当则当n≥2n≥2时时,2S,2Sn-1n-1=(n-1)a=(n-1)an n- - ② ②, ,①-②①-②可得可得2a2an n=na=nan+1n+1-(n-1)a-(n-1)an n-n(n+1),-n(n+1),也就是也就是(n+1)a(n+1)an n=na=nan+1n+1- -n(n+1),n(n+1),同除以同除以n(n+1)n(n+1)可得可得 =1,=1,数列数列 是公差为是公差为1 1的等差数列的等差数列, ,且且 =1,=1,所以所以 = =n,an,an n=n=n2 2, ,显然显然a a1 1=1=1也满足也满足a an n=n=n2 2, ,即所求通项公即所求通项公式为式为a an n=n=n2 2. . (3)(3)当当n=1n=1时时, , 结论成立结论成立; ;当当n=2n=2时时, , 结论成立结论成立; ;当当n≥3n≥3时时, , 即对一切即对一切n∈Nn∈N* *, , 成立成立. . 【【规律方法规律方法】】数列中不等式的处理方法数列中不等式的处理方法(1)(1)函数方法函数方法: :即构造函数即构造函数, ,通过函数的单调性、极值等得出关通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式于正实数的不等式, ,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式数列中的不等式. .(2)(2)放缩方法放缩方法: :数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到果放缩得到. .(3)(3)比较方法比较方法: :作差或者作商比较作差或者作商比较. .(4)(4)数学归纳法：使用数学归纳法进行证明．数学归纳法：使用数学归纳法进行证明． 【【变式训练变式训练】】(2014(2014··汕头模拟汕头模拟) )已知数列已知数列{a{an n} }中，中，a a1 1=1,a=1,an+1n+1= = (n∈N (n∈N* *).).(1)(1)求证：数列求证：数列 为等差数列为等差数列. .(2)(2)设设 数列数列{b{bn nb bn+2n+2} }的前的前n n项和项和T Tn n, ,求证：求证：T Tn n＜＜ 【【证明证明】】(1)(1)由由a an+1n+1= = 得：得： 所以数列所以数列是以是以1 1为首项，以为首项，以2 2为公差的等差数列为公差的等差数列. .(2)(2)由由(1)(1)得：得： =1+2(n-1)=2n-1=1+2(n-1)=2n-1，由，由 得：得： =2n-1+=2n-1+1=2n,1=2n,所以所以b bn n= ,= ,从而：从而：b bn nb bn+2n+2= =则则T Tn n=b=b1 1b b3 3+b+b2 2b b4 4+ +……+b+bn nb bn+2n+2 【【加固加固训练训练】】(2014(2014··太原模太原模拟拟) )已知等差数列已知等差数列{a{an n} }的公差不的公差不为为零零, ,且且a a3 3=5,a=5,a1 1,a,a2 2,a,a5 5成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列{a{an n} }的通的通项项公式公式. .(2)(2)若数列若数列{ {b bn n} }满满足足b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +……+2+2n-1n-1b bn n=a=an n且数列且数列{ {b bn n} }的前的前n n项项和和为为T Tn n, ,试试比比较较T Tn n与与 的大小的大小. . 【【解析解析】】(1)(1)在等差数列在等差数列{a{an n} }中中, ,设公差为设公差为d(d≠0),d(d≠0),所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)b(2)b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +……+2+2n-1n-1b bn n=a=an n ①①, ,b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +……+2+2n-1n-1b bn n+2+2n nb bn+1n+1=a=an+1n+1 ②②, ,②-①②-①得得:2:2n n··b bn+1n+1=2,=2,所以所以b bn+1n+1=2=21-n1-n, ,当当n=1n=1时时,b,b1 1=a=a1 1=1,=1,所以所以b bn n= = 当当n=1n=1时，时，T T1 1=b=b1 1=1=1，， =1=1，所以，所以T Tn n= =当当n≥2n≥2时，时，T Tn n=1+4=1+4又又2 2n n=(1+1)=(1+1)n n= >n+1(n≥2)= >n+1(n≥2)，，所以所以所以当所以当n=1n=1时，时，T Tn n= = ，当，当n≥2n≥2时，时，T Tn n> > 考点考点4 4 数列的数列的实际应实际应用用问题问题 【【典例典例4 4】】某公司一下属企某公司一下属企业业从事某种高科技从事某种高科技产产品的生品的生产产. .该该企企业业第一年年初有第一年年初有资资金金20002000万元万元, ,将其投入生将其投入生产产, ,到当年年底到当年年底资资金金增增长长了了50%.50%.预计预计以后每年以后每年资资金年增金年增长长率与第一年的相同率与第一年的相同. .公司要公司要求企求企业业从第一年开始从第一年开始, ,每年年底上每年年底上缴资缴资金金d d万元万元, ,并将剩余并将剩余资资金全金全部投入下一年生部投入下一年生产产. .设设第第n n年年底企年年底企业业上上缴资缴资金后的剩余金后的剩余资资金金为为a an n万元万元. . (1)(1)用用d d表示表示a a1 1,a,a2 2, ,并写出并写出a an+1n+1与与a an n的关系式的关系式. .(2)(2)若公司希望若公司希望经过经过m(m≥3)m(m≥3)年使企年使企业业的剩余的剩余资资金金为为40004000万元万元, ,试试确定企确定企业业每年上每年上缴资缴资金金d d的的值值( (用用m m表示表示).). 【【解题视点解题视点】】(1)(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额只要根据增长率求出当年年底的资金总额, ,再再减去上缴的资金减去上缴的资金, ,就是剩余资金就是剩余资金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1与与a an n间的递推关系式间的递推关系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列列{a{an n} }的通项公式的通项公式a an n, ,令令a am m=4000=4000即可求出即可求出d.d. 【【规范解答规范解答】】(1)(1)由题意得由题意得a a1 1=2 000(1+50%)-d=2 000(1+50%)-d=3 000-d=3 000-d，，a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4 500--d=4 500-所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50%)-d= a(1+50%)-d= an n-d.-d. (2)(2)方法一：由方法一：由(1)(1)得，当得，当n≥2n≥2时，时，a an n= a= an-1n-1-d=-d= a an-2n-2- - d-dd-d= =……整理得整理得a an n= = (3 000-3d)+2d. (3 000-3d)+2d. 由题意，由题意，a am m=4 000,=4 000,所以所以 (3 000-3d)+2d=4 000,(3 000-3d)+2d=4 000,故该企业每年上缴资金故该企业每年上缴资金d d的值为的值为 时，经过时，经过m(m≥3)m(m≥3)年企业的剩余资金为年企业的剩余资金为4 0004 000万元万元. . 方法二：由于方法二：由于a an+1n+1= a= an n-d-d，，设设a an+1n+1+λ= (a+λ= (an n+λ)+λ)，化为，化为a an+1n+1= a= an n+ λ,+ λ,与与a an+1n+1= a= an n-d-d比较可得比较可得λ=-2dλ=-2d，，故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d)-2d)，这说明数列，这说明数列{a{an n-2d}-2d}是以是以a a1 1-2d=3 000--2d=3 000-3d3d为首项为首项, , 为公比的等比数列，为公比的等比数列，所以所以a an n-2d=(3 000-3d)-2d=(3 000-3d)··即即a an n=(3 000-3d)=(3 000-3d)·· +2d. +2d.( (下同方法一下同方法一) )．． 【【规律方法规律方法】】解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤(1)(1)确定模型类型确定模型类型: :理解题意理解题意, ,看是哪类数列模型看是哪类数列模型, ,一般有等差数列一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型模型、等比数列模型、简单的递推数列模型. .基本特征见下表基本特征见下表: :数列模型数列模型基本特征基本特征等差数列等差数列均匀增加或者减少均匀增加或者减少等比数列等比数列指数增长指数增长, ,常见的是增产率问题、存款复利问题常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推简单递推数列数列指数增长的同时又均匀减少指数增长的同时又均匀减少. .如年收入增长率为如年收入增长率为20%,20%,每年年底要拿出每年年底要拿出a(a(常数常数) )作为下年度的开销作为下年度的开销, ,即数列即数列{a{an n} }满足满足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a (2)(2)准确解决模型准确解决模型: :解模就是根据数列的知识解模就是根据数列的知识, ,求数列的通项、求数列的通项、数列的和、解方程数列的和、解方程( (组组) )或者不等式或者不等式( (组组) )等等, ,在解模时要注意运在解模时要注意运算准确算准确. .(3)(3)给出问题的回答给出问题的回答: :实际应用问题最后要把求解的数学结果化实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案为对实际问题的答案, ,在解题中不要忽视了这点在解题中不要忽视了这点. .提醒提醒: :一般地一般地, ,涉及递增率或递减率要用等比数列涉及递增率或递减率要用等比数列, ,涉及依次增涉及依次增加或减少要用等差数列加或减少要用等差数列, ,有的问题是可以通过转化得到等差或有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的等比数列的, ,注意之间的联系注意之间的联系. . 【【变变式式训练训练】】(2014(2014··广州模广州模拟拟) )某学校餐某学校餐厅为厅为了保了保证证每天供每天供应应10001000名学生用餐名学生用餐, ,每星期一都提供有每星期一都提供有A,BA,B两种菜可供学生两种菜可供学生选择选择( (每每个学生都将从二种中个学生都将从二种中选选一种一种),),经调查经调查, ,凡是在本周星期一凡是在本周星期一选选A A菜的菜的, ,下周星期一会有下周星期一会有20%20%改改选选B,B,而而选选B B菜的菜的, ,下周星期一下周星期一则则有有30%30%改改选选A.A.用用a an n,b,bn n分分别别表示在第表示在第n n个星期一个星期一选选A,BA,B菜的人数菜的人数(a(a1 1,b,b1 1表示本周表示本周星期一星期一选选A,BA,B菜人数菜人数),),若若a a1 1=200.=200.(1)(1)试试以以a an n表示表示a an+1n+1. .(2)(2)证证明明:{a:{an n} }的通的通项项公式是公式是a an n=(-400)=(-400)·· +600. +600.(3)(3)试问试问从第几个星期一开始从第几个星期一开始, ,选选A A的人数超的人数超过选过选B B的人数的人数? ? 【【解析解析】】(1)(1)由题可知由题可知, ,因为在本周星期一选因为在本周星期一选A A菜的菜的, ,下周星期一下周星期一会有会有20%20%改选改选B,B,而选而选B B菜的菜的, ,下周星期一则有下周星期一则有30%30%改选改选A,A,所以所以a an+1n+1=a=an n··(1-0.2)+0.3(1-0.2)+0.3··b bn n, ,又又a an n+b+bn n=1000,=1000,所以整理得所以整理得:a:an+1n+1= a= an n+300.+300.(2)(2)因为因为a a1 1=200,=200,且且a an+1n+1= a= an n+300,+300,所以所以a an+1n+1-600= (a-600= (an n-600),-600),即即{a{an n-600}-600}可以看成是首项为可以看成是首项为-400,-400,公比为公比为 的等比数列的等比数列, ,所以所以a an n=(-400)=(-400)·· +600. +600. (3)(3)由由a an n+b+bn n=1000,a=1000,an n>b>bn n得得a an n>500,>500,又又a an n=(-400)=(-400)·· +600, +600,所以所以 即即n>3.n>3.答答: :从第从第4 4个星期一开始个星期一开始, ,选选A A的人数超过选的人数超过选B B的人数的人数. . 【【加固加固训练训练】】流行性感冒流行性感冒( (简简称流感称流感) )是由流感病毒引起的急性是由流感病毒引起的急性呼吸道呼吸道传传染病染病. .某市某市1111月份曾月份曾发发生流感生流感, ,据据资资料料统计统计,11,11月月1 1日日, ,该该市新的流感病毒感染者有市新的流感病毒感染者有2020人人, ,此后此后, ,每天的新感染者平均比前每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加一天的新感染者增加5050人人. .由于由于该该市医市医疗疗部部门门采取措施采取措施, ,使使该该种种病毒的病毒的传传播得到控制播得到控制. .从某天起从某天起, ,每天的新感染者平均比前一天每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少的新感染者减少3030人人, ,到到1111月月3030日止日止, ,该该市在市在这这3030日内感染日内感染该该病病毒的患者毒的患者总总共有共有86708670人人. .问问1111月几日月几日, ,该该市感染此病毒的新患者市感染此病毒的新患者人数最多人数最多? ?并求出并求出这这一天的新患者人数一天的新患者人数. . 【【解析解析】】设从设从1111月月1 1日起第日起第n(n∈Nn(n∈N* *,1≤n≤30),1≤n≤30)日感染此病毒日感染此病毒的新患者人数最多的新患者人数最多, ,则从则从1111月月1 1日至第日至第n n日止日止, ,每日新患者人数每日新患者人数依次构成一个等差数列依次构成一个等差数列, ,这个等差数列的首项为这个等差数列的首项为20,20,公差为公差为50,50,前前n n日的新患者总人数即该数列的前日的新患者总人数即该数列的前n n项之和项之和S Sn n=20n+ =20n+ 50=25n50=25n2 2-5n.-5n. 从第从第n+1n+1日开始日开始, ,至至1111月月3030日止日止, ,每日的新患者人数依次构成每日的新患者人数依次构成另一等差数列另一等差数列, ,这个等差数列的首项为这个等差数列的首项为[20+(n-1)[20+(n-1)··50]-30=50]-30=50n-60,50n-60,公差为公差为-30,-30,项数为项数为(30-n),(30-n)(30-n),(30-n)日的新患者总人数日的新患者总人数为为T T30-n30-n=(30-n)=(30-n)··(50n-60)+ (-30)=(30-n)(50n-60)+ (-30)=(30-n)··(65n-495)=-65n(65n-495)=-65n2 2+2445n-14850.+2445n-14850. 依题意得依题意得S Sn n+T+T30-n30-n=8670,=8670,即即(25n(25n2 2-5n)+(-65n-5n)+(-65n2 2+2445n-14850)=8670.+2445n-14850)=8670.化简得化简得n n2 2-61n+588=0,-61n+588=0,解得解得n=12n=12或或n=49.n=49.因为因为1≤n≤30,1≤n≤30,所以所以n=12.n=12.第第1212日的新患者人数为日的新患者人数为20+(12-1)20+(12-1)××50=570.50=570.所以所以1111月月1212日日, ,该市感染此病毒的新患者人数最多该市感染此病毒的新患者人数最多, ,且这一天的且这一天的新患者人数为新患者人数为570570人人. . 。
