立体几何拓展----刨挖与打洞专属讲义(含解析答案).doc

学科教师讲义班级：年 级：五年级科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题立体几何拓展----刨挖与打洞知识图谱错题回顾刨挖与打洞知识精讲角上挖掉一个小正方体，原正方体面积不变；棱上挖掉一个小正方体，增加两个面；面上挖掉一个小正方体，增加四个面．三点剖析重难点：刨坑和打洞后表面积和体积的变化．题模精选题模一：打通求块数例1.1.1 如图，一个长方体由四块拼成，每块都由4个小立方体粘合而成，4块中有3块都可以完全看见，但包含黑色形状的那块只能看见一部分．那么，下列四个选项中的（ ）是黑色块所在的形状．A． 图1B． 图2C． 图3D． 图4【答案】C【解析】 最上面一层都看得到，所以黑色块只在最下面一层．后面那行最右面一个也能看到，所以应为T字型，选C．题模二：刨挖顶点棱和面例1.2.1 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【答案】 3【解析】 大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．例1.2.2 一个棱长为8厘米的正方体，从正方体的上面正中间向下挖一个棱长为4厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为2厘米的小洞；第三个小洞挖法与前两个相同，棱长为1厘米，最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？【答案】 468【解析】 易知得到的立体图形表面积比原正方体表面积多了3个小正方体的侧面，即为．例1.2.3 在一个棱长为5厘米的正方体上如图切掉一个三棱柱．那么体积减少__________立方厘米；表面积减少__________平方厘米．【答案】 30；22【解析】 体积减少：立方厘米，表面积减少：平方厘米．题模三：打洞例1.3.1 如图，从棱长为10的立方体中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后，得到的几何体的表面积是___________，体积是___________．（取3）【答案】 696；880【解析】 几何体的表面积：；几何体的体积：．例1.3.2 一个的立方体木块，在每组相对的面的正中心凿穿一个的长方体的洞，那么剩下的立体图形的表面积是多少？【答案】 192【解析】 比较剩余部分与原正方体，易知表面积少了6个的部分，多了个的部分，即表面积为．例1.3.3 如图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？【答案】 120平方厘米；126平方厘米【解析】 如图1所示，每挖一个洞，原先的立方体的表面就少掉了1块的面积，但这块面其实只是“凹”了下去，并没减少．另一方面，挖下去的洞又多了4个侧面，因此总的效果是表面积增加了4个的面，即增加了4平方厘米．因为一共挖了6个洞，所以增加的总面积为：平方厘米．正方体原本的表面积为平方厘米．所以此时它的总面积为平方厘米．接着再来看打穿后面积的变化．为了方便比较，不妨直接比较原立方体和打穿之后的立方体，如图2、3．图3从上方来看，原来正方体的表面被打了一个洞，如图4所示；而内部朝上的面一共有4块．如图5所示．所以朝上的面积之和为平方厘米．所以此时立体图形的表面积为：平方厘米．例1.3.4 有一个棱长为的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(如图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．【答案】 216【解析】 由于正方形中间被打孔，表面积不好计算，我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的正方体粘合而成．8个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长为1厘米的正方体分别在12条棱的中间．由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大的正方体，相对于不粘接减少了4平方厘米，所以总的表面积为平方厘米．随堂练习随练1.1 右图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由_______个小正方体组成．【答案】 68【解析】 从前向后的前三层如图所示，黑色表示空缺．整个立体图形含个小正方体．随练1.2 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少？【答案】 12【解析】 和原来的立方体相比，面积减少了两个侧面，共减少了．随练1.3 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【答案】 【解析】 易知此立体图形表面积比原正方体多了12个正方形，其中边长为1厘米、厘米、厘米的各有4个，故其表面积为．自我总结课后作业作业1 图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．问：这个立体图形由多少个小正方体组成？【答案】 38个【解析】 简单的打洞题，可以直接靠空间想象力（可配合容斥原理减少思考量），对于较复杂的打洞的题求体积常用“切片法”．从顶面开始一层一层像切面包一样的把每一层的俯视图都画出来，1表示还有小正方体，不填表示已经被挖走：可看出这个立体图形由个小正方体组成．作业2 如图1所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图2所示的立体图形．这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【答案】 600；568【解析】 从顶点A切掉的情形：第一次从A切掉一个立方体，剩下的立体形状不规则，如果一小块一小块的求，算起来会比较复杂．我们可以从前、后、左、右、上、下六个方向去观察，看看每个方向可以看到多大的面积．把每个方向的表面积加起来，就得到总的表面积了．我们从前后左右上下六个角度去观察这个不规则图形，从每个方向看过去都是一个边长为10的正方形，因此表面积和原来的立方体相同，等于．从顶点B切掉的情形：我们分析一下从A、B切掉的这两个角．大立方体棱长为10，因此从A点切去的棱长为4的立方体，和从B点切去的棱长为6的立方体是有重叠的．这样一来，表面不仅仅只是“凹”进去那么简单了，而是有一部分消失了．如图所示，阴影部分就是那部分消失的面积．我们仍然从前、后、左、右、上、下六个方向去观察，其中前后上下四个方向所看到的仍然是边长为10的正方形，但左右两个方向看到的就不是了，是两个被挖去一个角的正方形，挖去的部分正好是边长为4的正方形．所以从顶点B切掉棱长6的立方体后，表面积比原来少了，所以总表面积为．作业3 （1）如图1所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，剩余部分的表面积是__________．（2）如图2所示，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，它的表面积减少了__________%．【答案】 （1）216（2）16%【解析】 可以从上、下、左、右、前、后这6个方向去观察所给的图形．（1）图1从各方看过去，都是的正方形．所以切割后立体图形的表面积为：．（2）图2切割前立方体的棱长是5，表面积为：．切割后，前后面减少的面积是下图中的虚线部分，减少的总面积为：．所以，表面积减少了．作业4 将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？如果切掉的长方体长、宽、高分别是4、5、6，那么剩余部分的表面积是多少？【答案】 216；176【解析】 若切掉一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体，易知表面积与原正方体相同，仍为；若切掉的长方体长、宽、高分别是4、5、6，剩余部分为“立体的L”，形状及各长度如下图所示，剩余部分的表面积比原表面积少了阴影部分，因此变为．作业5 一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．剩下立体图形的表面积可能是多少？请写出所有可能性．【答案】 600平方厘米，618平方厘米，639平方厘米【解析】 如果从角上挖，表面积不变，仍为平方厘米．如果从棱上挖，表面积增加2个小正方形的面，表面积变为平方厘米．如果从面上挖，表面积增加4个小正方形的面，表面积变为平方厘米．作业6 一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体，现从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【答案】 1107【解析】 第一次切下的正方形棱长是12厘米，则体积为立方厘米，这时剩余立方体底面形状如图（1），高为12厘米．第二次切下的正方形棱长是9厘米，则体积为立方厘米．剩下立方体底面形状如图（2），高为12和图（3），高为3．所以，第三次切下的尽可能大的正方体棱长为6厘米，其体积为立方厘米，所以剩下的体积为立方厘米． 9 / 9。