概率论与数理统计习题.ppt

第七章习题 2. 设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本, x1,x2,…,xn为一相应的样本值;求 下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.(1)解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.解出将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量矩估计值其中c>0为已知,>1,为未知参数.2.(2)其中>0,为未知参数.解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.解出将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量矩估计值3.求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量 . (1)其中c>0为已知,>1,为未知参数.解 似然函数 xi>c ( i =1,2,…,n)时,取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量3.(2)其中>0,为未知参数.解 似然函数 0xi1 ( i =1,2,…,n)时,取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量4.(2 )设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试 求的最大似然估计量及矩估计量. 解 泊松分布的分布律为总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量似然函数取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量设x1,x2,…,xn为相应的样本值,8 (1)验证第六章§2定理四中的统计量是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2,(2)设总体X的数学期望为. X1,X2,…,Xn是来自X的样本. a1,a2,…,an是任意常数,验证是的无偏估计量.证 E(X1)= E(X2)=…= E(Xn)= E(X)=10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.设有估计量T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4 .(1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量; (2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效. 解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为的指数分布,故 E(Xi)=, D(Xi)=2 , (1 )因此T1,T3是的无偏估计量. (2) X1,X2,X3,X4相互独立由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1较为有效.12. 设从均值为,方差为2>0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独 立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=, D(X1)=2/n1, D(X2)=2/n2 .故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=, (a+b=1) 所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计. 由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以由极值必要条件解得而由于故D(Y)必有唯一极小值即最小值.14.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布N(,2),求的置信水平为0.95 的置信 区间. (1)若由以往经验知 =0.6, (2)若为未知.解 (1) 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, =0.6 ,x=6,的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392).(2) 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060s=0.5745,的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.558, 6.442).16. 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.解 未知,的置信水平为1-的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)=2 0.025(8)=2 1-/2 (n-1)=2 0.975(8)=17.5352.18,又s=11,标准差的置信水平为0.95 的置信区间为(7.4, 21.1).18. 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电 阻(欧)为 A批导线:0.143 0.142 0.143 0.137 B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 -2的置信水平为0.95 的置信区间.解 两正态总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 -2的 一个置信水平为1- 的置信区间为n1=4,n2=5,1-=0.95, =0.05, t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646x1=0.14125, x2=0.1392, s12=8.2510-6 , s22=5.210-6,1 -2的一个置信水平为0.95 的置信区间为(-0.002, 0.006).20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的 置信区间为nA=10,nB=10,1-=0.95, =0.05,F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)= 4.03sA2=0.5419,sB2=0.6065,A2/B2的一个置信水平为0.95的置信区间为(0.222, 3.601).22(2 )求18题中1 -2的置信水平为0.95 的单侧置信下限.解按照t分布的上 分位点的定义即1-=0.95, =0.05, t(n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946, 1 -2的置信水平为0.95 的单侧置信下限为18题中已得到 x1=0.14125, x2=0.1392, sw=2.5510-3, n1=4, n2=5,22(3) 求20题中方差比A2/B2的置信水平为0.95的单侧置信上限.解 由p169定理四得按照F分布的下分位点的定义 即20题中已得到 nA=10, nB=10, sA2=0.5419, sB2=0.6065,1-=0.95, =0.05, 1/F1-(nA-1,nB-1)=F(nB-1,nA-1)=F0.05(9,9)=3.18,A2/B2的置信水平为0.95的单侧置信上限为。