新课标人教A版选修圆锥曲线知识点整理.docx

学习必备 欢迎下载高二数学圆锥曲线学问整理学问整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程；它一般分为两类基此题型：一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法， 如求直线及圆的方程就是典型例题； 二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外， 通常设法利用已知轨迹的定义解题， 化归为求已知轨迹类型的轨迹方程； 因此在求动点轨迹方程的过程中， 一是查找与动点坐标有关的方程（等量关系） ，侧重于数的运算，一是查找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用；在基本轨迹中，除了直线、圆外，仍有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线；1、三种圆锥曲线的争论（ 1）统肯定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：F 为定点， d 为 P 到定直线的 距离， F ，如图；P | | PF |de, e0 ，其中由于三者有统肯定义，所以，它们的一些性质，争论它们的一些方法都具有规律性；当 01 时，点 P 轨迹是双曲线；当 e=1 时，点 P 轨迹是抛物线；（ 2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆： {P||PF 1|+|PF 2|=2a ， 2a>|F 1F2|>0 ，F1、F2 为定点 } ，双曲线 {P|||PF 1|-|PF 2||=2a ， |F 1F2 |>2a>0 ， F1，F2 为定点 } ；（ 3）圆锥曲线的几何性质： 几何性质是圆锥曲线内在的， 固有的性质， 不由于位置的转变而转变；①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称；②定量：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线焦 距 2c长轴长 2a ——实轴长 —— 2a短轴长 2b焦点到对应准线距离P=2 b p2cb 2通径长 2 2pa学习必备 欢迎下载离心率 ce 1a基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2（ 4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标转变而变）举焦点在 x 轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线标准方程x 2 y 21a 2 b2x 2 y 21a2 b 2y =2px（ p>0）2（ a>b>0）顶点焦点（ 0， b）（ c准线X=（ a， 0）（ a>0， b>0）（ a， 0） （0， 0）， 0） （a 2p ， 0）2px=c 2中 心 （ 0， 0）|x| ≤ a有界性|y| ≤ b|x| ≥ a x≥ 0P〔x 0 ，y0〕 为圆锥曲线上一点， F1、F2 分别为左、右焦点P 在右支时：|PF 1|=a+ex 0焦半径|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF 2|=-a+ex 0P 在左支时：|PF 1|=-a-ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x0+ p2总之争论圆锥曲线， 一要重视定义， 这是学好圆锥曲线最重要的思想方法， 二要数形结合，既娴熟把握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2、直线和圆锥曲线位置关系（ 1）位置关系判定：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为 0）；其中直线和曲线只有一个公共点， 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0；直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情形；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0；（ 2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解；当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法；学习必备 欢迎下载4 、圆锥曲线中参数取值范畴问题通常从两个途径摸索，一是建立函数，用求值域的方法求范畴；二是建立不等式，通过解不等式求范畴；例题争论例1、 依据以下条件，求双曲线方程；x 2 y 2（ 1）与双曲线 1 有共同渐近线，且过点（ -3 ， 23 ）；9 16x 2 y 2（ 2）与双曲线 1 有公共焦点，且过点（ 3 2 ， 2） ；分析：16 4x 2 y 2 4法一：（ 1）双曲线 1 的渐近线为 y x9 16 3令 x=-3 ， y= 4，因 2 3轴之间，4 ，故点（ -3 ， 23 ）在射线 y4 x （ x ≤0）及 x 轴负半3∴ 双曲线焦点在 x 轴 上2设双曲线方程为 xa 2y 22 1 ，（ a>0，b>0）bb 4a 3〔 3〕 2a 2〔2 3 〕 21b2a 2 9解之得： 4b 2 4x 2 y 2∴ 双曲线方程为 19 44x 2 y 2（ 2）设双曲线方程为 1 （ a>0， b>0）a 2就 〔3a 2 b 2b 2 202 〕 2 2 21a 2 b 2a 2 12解之得：b 2 8x 2 y 2∴ 双曲线方程为 112 8x 2 y 2法二：（ 1）设双曲线方程为9 16（ λ≠ 0）学习必备 欢迎下载〔 3〕 2∴9∴ 14〔2 3〕 216x 2 y 2∴ 双曲线方程为 19 44x 2 y 216 k 0（ 3）设双曲线方程为 116 k 4 k〔3 2 〕 2 2 24 k 0∴ 116 k 4 k解之得： k=4x 2 y 2∴ 双曲线方程为 1122评注：与双曲线 xa 282y 1 共渐近线的双曲线方程为 b2x 2 y 2a 2 b 2x 2 y 2（ λ ≠ 0），当 λ >0时，焦点在 x 轴上；当 λ <0 时，焦点在 y 轴上；与双曲线a21共焦点的双曲线为b 2x 2 y 2 2 2（a2 k1b 2 ka +k>0， b -k>0 ）；比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特殊是充分利用含参数方程的几何意义， 可以更精确地懂得解析几何的基本思想；x 2 y 2例 2、设 F1、F2 为椭圆 1 的两个焦点， P 为椭圆上一点，已知 P、F1、F2 是一9 4个直角三角形的三个顶点，且 |PF 1|>|PF 2| ， 求| PF1 | 的值；解题思路分析：| PF2 |当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义；| PF1 | | PF2 | 6法一：当∠ PF F =900 时，由 | PF |2 | PF |2〔2c〕 2 得：2 1 1 2c 2 5| PF1 |14 4， | PF2 |3 3∴ | PF1 | 7| PF2 | 20当∠ F1PF2=90 时，同理求得 |PF 1|=4 ， |PF 2|=2∴ | PF1 | 2| PF2 |0法二：当∠ PF2F1=90 ， x P 5学习必备 欢迎下载∴ y P 43∴ P （ 5 , 4 ）3又 F2（ 5 ， 0）∴ |PF 2|= 43∴ |PF 1|=2a-|PF 2|= 143x 20当∠ F1PF2=90 ，由 x 29y 2 〔y 2145 〕 2得：P （ 3 5,54 5 ）；下略； 5评注：由 |PF 1|>|PF 2| 的条件，直角顶点应有两种情形，需分类争论；例 3、设点 P 到 M（ -1 ，0），N（ 1，0）的距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴的距离之比为 2，求 m取值范畴；分析：依据题意，从点 P 的轨迹着手∵ ||PM|-|PN||=2mx 2 y 2∴ 点 P 轨迹为双曲线，方程为 1（ |m|<1 ） ①又 y= 2x（ x≠0） ②m 2 1 m 2①②联立得： x 2m 2 〔11m 2 〕5m 2将此式看成是m 2 〔1 m 2 〕关于 x 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到 m 的取值范畴；1 5m 22 2依据双曲线有界性： |x|>m ， x >mm 2 〔1∴12m 2 〕m 25m 2又 00∴ | m |5且 m≠ 05∴ m 〔5 , 0〕5〔0, 5 〕5评注： 利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步， 当题目条件有等量关系时， 一般考学习必备 欢迎下载虑利用函数思想，建立函数关系式；2例 4、已知 x+y =1，双曲线 〔x-1〕-y =1， 直线 同时满意以下两个条件：①与双曲线交222于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点；求直线 方程；分析：挑选适当的直线方程形式，把条件“ 是圆的切线” “切点 M是弦 AB中点”翻译为关于参数的方程组；法一：当 斜率不存在时， x=-1 满 足；当 斜率存在时，设 ： y=kx+b与⊙ O相切，设切点为 M， 就 |OM|=1∴ | b | 1k 2 122222∴ b =k +1 ①y kx b由〔 x 1〕 2 y 2得： 〔1-k1〕x -2〔1+kb〕x-b =0当 k ≠ 1 且△ >0 时，设 A（ x 1， y 1）， B（ x 2， y 2），就中点 M（ x 0， y 0），x1 x 22〔11kb〕 , x 0k 21 kb1 k 2∴ y 0=kx0+b= k b1 k 2∵ M 在⊙ O上2 2∴ x 0 +y 0 =1∴ 〔1+kb〕 2+〔k+b〕 2 =〔1-k 2〕 2 ②k由①②得：b3 k 33 或 32 3 b 2 3。