年考研数学三试题及全面解析.docx

超级狩猎者 整理2021 年全国硕士讨论生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（ Word版）一、挑选题： 1～ 8 小题，每道题 4 分，共 32 分，以下每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .1. 以下函数中在 x 0 处不行导的是（ ）（ A）f 〔 x〕x sinx （ B）f 〔 x〕x sin x（ C）f 〔 x〕 cos x （ D）f 〔x〕 cos x【答案】 〔 D 〕f 〔x〕f 〔0〕x sinx x gx【解析】依据导数定义， A.lim lim lim 0，可导；x 0 xx 0 xx 0 xf 〔 x〕f 〔0〕x sinx x g xB. lim lim lim 0 , 可导；x 0 xx 0 xx 0 x1 x 2C. limf 〔 x〕f 〔0〕limcos x 1lim 20 ，可导；x 0 xx 0 x1x 0 x2 1cos x 1 2 x 2 xD. lim lim lim，极限不存在；应选（ D ）.x 0 xx 0 xx 0 x12. 设函数f 〔 x〕 在[0,1] 上二阶可导；且1f 〔x〕dx00 ，就 （ ）1（ A ）当 f〔 x〕 0 时，f 〔 〕 0 21（ B）当 f〔x〕 0时，f 〔 〕 0 21（ C）当 f〔 x〕 0 时，f 〔 〕 0 2（ D）当 f〔 x〕 0时，f 〔 〕 0 2【答案】（ D ）1【解析一】有高于一阶导数的信息时， 优先考虑 “泰勒绽开” ；从选项中判定， 绽开点为 x0 ；21将函数f 〔 x〕 在 x0处绽开，有2第 1 页 共 15 页超级狩猎者 整理1 1 1f 〔 〕 1 2 1f 〔 x〕f 〔 〕f 〔 〕〔 x〕 〔 x〕 ，其中 x ；两边积分，得2 2 2 2. 2 210 f 〔x〕dxf 〔 1 〕1 f 〔1〕〔 x 1〕dx1 f 〔 〕 〔 x1〕2 dx0 2 0 2 2 0 2. 21 1 f 〔 〕 1 2f 〔 〕 〔x 〕 dx ，2 0 2. 21 f 〔 〕 1 2 1由于 f 〔 x〕 0 〔 x 〕 dx 0 ，所以 f 〔 〕 0 ，应选（ D） .【解析二】排除法；0 2. 2 21 1 1（ A ）错误；令f 〔 x〕x ，易知22 1f 〔 x〕dx010 ， f〔 x〕 1 0 ，但是f 〔 〕 0 ；21（ B）错误；令f 〔 x〕x ，易知3f 〔 x〕dx00 ， f〔 x〕 2 0 ，但是f 〔 〕 0 ；2（ C）错误；令应选 （ D ）.f 〔 x〕x 1 ，易知21f 〔 x〕dx00 ， f〔 x〕 1 0 ，但是f 〔 1〕 0 ；23. 设 M2 〔12 1x〕 2x2dx ， N2 1 xex2dx ， K2 〔1 cosx 〕dx ，就（ ）2（ A ） M N K （ B ） M K N（ C） K M N （D ） K N M【答案】（ C ）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分就最简化积分；M 2 〔1x〕2dx1 x2 2x2dx2 〔1 2x 〕dx ，1 x21 x21 x22 2 2K 2 〔1 cos x〕 dx 2 1gdx ，2 2令 f 〔x〕ex 1x, x〔 , 〕 ， 就 f 2 2〔 x〕ex 1，当 x〔 ,0〕2时， f(x) 〕 0 ，第 2 页 共 15 页超级狩猎者 整理当 x 〔0,〕 时， f2〔 x〕 0 ，故 对 x〔 , 〕 ，有 2 2f 〔x〕f 〔0〕 0 ，因而1 x 1 ， Nex1 x2 dxex2 1gdx，故 K M N ；应选（ C ）.4. 设某产品的成本函数2 2C 〔Q〕 可导，其中 Q 为产量；如产量为Q0 时平均成本最小，就 （ ）（ A ） C〔Q0 〕 0 （ B） C 〔Q0〕C〔Q0 〕 （C） C 〔Q0〕Q0C〔Q0〕（ D ） Q0C 〔Q0 〕C〔Q0 〕【答案】（ D ）C 〔Q〕 dC 〔Q〕 C 〔Q〕Q C〔Q〕【解析】平均成本C〔Q〕, ，Q dQ Q2由于产量为Q0 时平均成本最小，因此C 〔Q0 〕Q0C〔Q0 〕 0，应选（ D ）1105. 以下矩阵中阵，与矩阵011相像的是（）0011 1 11 0 11 1 11 0 1（ A ）011（ B）011（ C）010（ D）010001001001001【答案】（ A ）110H011001【解析】记矩阵，就秩r 〔 H 〕 3 ，迹tr 〔H〕 3,特点值 1（三重）；观看A, B, C , D 四个选项，它们与矩阵 H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特点值也相等，进一步分析可得：r 〔 E H 〕 2 , r 〔E A〕 2 ， r 〔E B〕 1r 〔 E C 〕 1, r 〔 E D 〕 1；假如矩阵 A 与矩阵 X 相像，就必有 kE A 与 kE X相像（ k 为任意常数），从而r 〔kE A〕r 〔kE X 〕 ） ，应选（ A ） ,6. 设A, B 是 n 阶矩阵，记r 〔 X 〕 为矩阵 X 的秩， 〔 X ,Y 〕 表示分块矩阵，就（ ）第 3 页 共 15 页超级狩猎者 整理（ A ）r 〔 A, AB〕r 〔 A〕（ B） r 〔 A, BA〕r 〔 A〕（ C） r 〔 A, B〕 max{【答案】（ A ）r 〔 A〕, r 〔 B〕}（D ） r 〔 A, B〕r 〔 AT , BT 〕【解析】把矩阵A, AB 按列分块，记 A〔 1,2 ,Ln 〕, AB〔 1,2 ,Ln 〕 ，就向量组 1 ,2,Ln 可以由向量组 1,2,Ln 线性表出，从而 1,2 ,L n 与1 , 2 ,Ln ， 1 ,2,Ln ，等价，于是r 〔 A, AB〕r 〔 A〕 ，应选（ A ）；27. 设随机变量 X 的概率密度f 〔 x〕 满意f 〔1 x〕f 〔1x〕 ，且f 〔 x〕 dx00.6就 P{ X 0} 〔 〕（ A ） 0.2 （ B） 0.3 （ C） 0.4 （ D） 0.5【答案】（ A ）【解析】由f 〔1 x〕f 〔1x〕 可知概率密度函数f 〔x〕 关于 x1对称，结合概率密度函数的性质0f 〔 x〕dx11及已知条件22f 〔 x〕dx00.6 ，简洁得出P{ X 0}f 〔 x〕dx [ 2f 〔 x〕dx f0〔 x〕dx] 0.2 ，应选（ A ）；8. 设X1, X 2 ,L, Xn 〔n2〕 是来自总体N 〔 ,2 〕〔 0〕 的简洁随机样本；1 nn令 X X i ， Sn i1〔 X X 〕2， S*1 〔 X〕 2 ，就（ ）n i 1（ A）nn〔 XS1 i 1〕 ~ t〔n〕（ B）nn 〔 XSi 1i〕 ~ t〔n 1〕第 4 页 共 15 页超级狩猎者 整理n〔 X 〕n 〔 X 〕（ C） S*~ t〔n〕（ D） S*~ t〔n 1〕【答案】（ B ）2 X【解析】由X ~ N 〔 , 2 〕X ~ N 〔 , 〕 ~n nN 〔0,1〕，〔n 1〕S22~ 2 〔n1〕，且 X〔n 1〕S2n 与 2相互独立，所以X 〔nn1〕S22〔n 1〕n 〔 XS〕 ~ t〔n1〕 ，应选 （ B ）；二、填空题： 9 14 小题，每道题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题．纸．．指定位置上 .9. 曲线y x2 2lnx 在其拐点处的切线方程为 ；【答案】 y4x 3.【解析】函数的定义域为 〔0, 〕 ， y2x 2 ， y x2 2 ；x2y 4 ；x3令 y 0 ，解得 x1，而 y〔1〕 0 ，故点 〔1,1〕是曲线唯独的拐点；曲线在该点处的斜率y 〔1〕 4，所以切线方程为 y 4x 3；10. exarctan 1e2 x dx；【答案】【解析】ex arctan 1e2x dxarctan 1ex arctan 1e2 x dexe2xexd 。