
2014高考数学模拟试卷(三).doc
13页2014高考数学模拟试卷(三)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,其中第II卷第(15)题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2、选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.4、保持卷面清洁,不折叠,不破损.5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.参考公式:样本数据的标准差: 锥体体积公式: 其中为底面面积,为高其中为样本平均数 球的表面积,体积公式:柱体体积公式: 其中为底面面积,为高 其中R为球的半径 第I卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,集合,则与的关系是( ) A. B. C. D.2.复数的虚部是( ) A. B. C. D.3.已知向量, ,则向量所在的直线可能为( ) A.轴 B.第一、三象限的角平分线C.轴 D.第二、四象限的角平分线4.下列函数中,在区间上为增函数的是( ) A. B. C. D.5.设,,若是的必要而不充分条件,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.6.在中,角的对边边长分别为,则的值为( ) A.38 B.37 C.36 D.357.函数是 ( ) A.周期为的偶函数 B.周期为的非奇非偶函数 C.周期为的偶函数 D.周期为的非奇非偶函数8.若在区间上取值,则函数在R上有两个相异极值点的概率是( ) A. B. C. D.xyOabxyOabxyOabxyOabABCD9.设,函数的图象可能是( ) 10.平面向量的集合到的映射由确定,其中为常向量.若映射满足对恒成立,则的坐标不可能是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设等差数列的前项和为,若,则= .0.03750.012550 55 60 65 70 75 体重 12.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前个小组的频率之比为,第小组的频数为,则抽取的学生人数是 .13.已知点、分别为双曲线的左焦点、右顶点,点满足,则双曲线的离心率为 .14.设有算法如右图:如果输入A=144, B=39,则输出的结果是 .15、(在给出的二个题中,任选一题作答. 若多选做,则按所做的第一题给分) (1)(极坐标与参数方程)设直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系得另一直线的方程为,若直线与间的距离为,则实数的值为 . (2)(不等式选讲)在三角形中,所对的边长分别为, 其外接圆的半径,则的最小值为___________.三、解答题:本大题共75分.其中(16)~(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且,.(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,求的面积.17.(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是,.两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.(Ⅰ)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率;(Ⅱ)若投篮命中一次得1分,否则得0分. 用ξ表示甲的总得分,求ξ的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)DBCEB1C1AA1如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)已知函数,.(Ⅰ)求函数的导函数;(Ⅱ)当时,若函数是上的增函数,求的最小值;(Ⅲ)当,时,函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.20.(本小题满分13分)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点,过点的直线与椭圆在第一象限相切于点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求直线的方程以及点的坐标;(Ⅲ)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点,满足?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.21(本小题满分14分)若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当时,求第行各数的和;(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,证明:.2014高考数学模拟试卷(三)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分,共50分) 1.B 依题意得,,,选B. 2.B ,故选B. 3.A ,其横坐标恒大于零,纵坐标等于零,向量所在的直线可能为轴,选A. 4.C 结合函数图象知:选项A、D中函数在上有增有减,选项B中函数在上为减函数,只有选项C中函数在上是增函数. 5.A由得:,由得:,又是的必要而不充分条件,所以 且,.6.D 由余弦定理得:,故选D.7. B,定义域不关于原点对称,函数既不是奇函数又不是偶函数,8.C 易得,函数在R上有两个相异极值点的充要条件是且其导函数的判别式大于0,即且,又在区间上取值,则,点满足的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的面积为3,阴影部分的面积为,故所求的概率是.9.B可得 是函数的两个零点当时,则;当时, 则当时,则故选B.10.B 令,则即,或,故选B.二、填空题(每小题5分,共25分)11.45 由,得,.12. 由图可知前组的频率为,所以第组13. ,,则,,.14.3.(1)A=144,B=39,C=27;(2)A=39,B=27,C=12;(3)A=27,B=12,C=3;(4)A=12,B=3,C=0.所以A=3.15.(1)【答案】或【解析】将直线的方程化为普通方程得,将直线的方程化为直角坐标方程得,由两平行线的距离公式得或(2)三、解答题16.解:(Ⅰ)因为,,所以.由已知得.所以. …………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以 且.由正弦定理得.又因为,所以 ,.所以. …………………………12分17.(Ⅰ)解:记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.由题意, 得.答:3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是. …………………… 6分(Ⅱ)解:由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,则,,,.所以,的分布列为:0123P的数学期望. …………… 12分OBCEB1C1AA1D18.解法一:证明:(Ⅰ)设的交点为O,连接,连接.因为为的中点,为的中点,所以 ∥且.又是中点,所以 ∥且,所以 ∥且.所以,四边形为平行四边形.所以∥.又平面,平面,则∥平面. ………………4分(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,.所以平面.因为平面,所以.由已知得,所以,所以平面.由(Ⅰ)可知∥,所以平面.所以.因为侧面是正方形,所以.又,平面,平面,所以平面. ………………………………………8分(Ⅲ)解: 取中点,连接. FBCEB1C1AA1在三棱柱中,因为平面, 所以侧面底面.因为底面是正三角形,且是中点,所以,所以侧面.所以是在平面上的射影.所以是与平面所成角.DOOxyzBCEB1C1AA1. …………………………………………12分解法二:如图所示,建立空间直角坐标系.设边长为2,可求得,,,,,,,,.(Ⅰ)易得,,. 所以, 所以∥.又平面,平面,则∥平面. ………………4分(Ⅱ)易得,,,所以.所以又因为,,所以平面. …………………………………………… 8分(Ⅲ)设侧面的法向量为,因为, ,,,所以,.由 得解得不妨令,设直线与平面所成角为.所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………12分19.(Ⅰ)解:. …………………………………2分(Ⅱ)因为函数是上的增函数,所以在上恒成立.则有,即.设(为参数,),则.当,且时,取得最小值.(可用圆面的几何意义解得的最小值) ………………………7分(Ⅲ)①当时,是开口向上的抛物线,显然在 上存在子区间使得,所以的取值范围是.②当时,显然成立.③当时,是开口向下的抛物线,要使在上存在子区间使,应满足 或解得,或,所以的取值范围是.则的取值范围是. …………………………………………12分20.解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意得解得,,故椭圆的方程为. ……………………4分(Ⅱ)因为过点的直线与椭圆在第一象限相切,所以的斜率存在,故可设直线的方程为.由得. ① 因为直线与椭圆相切,所以.整理,得.解得.所以直线方程为.将代入①式,可以解得点横坐标为1,故切点坐标为.……8分(Ⅲ)若存在直线满足条件,设直线的方程为,代入椭圆的方程得.因为直线与椭圆相交于不同的两点,设两点的坐标分别为, 所以.所以.又,,因为,即,所以.即 ,所以,解得.因为为不同的两点,所以.于是存在直线满足条件,其方程为. 。
