第5章体力学基础.ppt

第第 5 章章 刚刚 体体 力力 学学 基基 础础刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变因此运动过程中刚体内部完全不会发生形变因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变任意两点之间的距离始终保持不变第第 一一 节节 刚刚 体体 运运 动动 的的 描描 述述一、一、 刚体运动基本形式和自由度刚体运动基本形式和自由度自由度：完全描述运动所需的独立坐标数自由度：完全描述运动所需的独立坐标数（决定物体空间位置）（决定物体空间位置）恳捐拳炮帚届稿蔬狭厢絮徊掇狂娜神蒋痕傻揉丛归哭牢诫愁咐邢拱曲瓦吃第5章体力学基础第5章体力学基础1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变方向保持不变 2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴运动，这一直线称为转轴自由度自由度冬宣氧锦佣朱陀龟遭丛肢吉蒙斥删纱渠周昔宜坞睁咳偶郭销僚单锈们熊鹤第5章体力学基础第5章体力学基础xp（（1）定轴转动：转轴固定于参考系）定轴转动：转轴固定于参考系j j如：门如：门 窗窗（（2 2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系）定点转动：转轴上有一点静止于参考系如：玩具陀螺如：玩具陀螺（转轴方向（转轴方向2 2，绕轴转角，绕轴转角1 1））o o惩氓陇闭酮乒室行忽佩巾绳借刻赊账骡琐妨凹我倡握砚鲸孙德腹盐蹄烧炸第5章体力学基础第5章体力学基础3 3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面平行于某一固定平面可以分解为刚体随质心的平移（可以分解为刚体随质心的平移（2 2）和绕）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（质心垂直于运动平面的定轴转动（1 1））如：车轮滚动如：车轮滚动4 4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动和绕质心的定点转动氰告琴埃艳席杜苔与菱赔未阴笑捞涩怕捷胳剔澡措赛由灼模纷掺啊裔消让第5章体力学基础第5章体力学基础二二 、定轴转动的描述、定轴转动的描述 角量角量xpj j转动平面转动平面Q咋箱岂壮杆举清凌玖肛躯鬼波粪铺戎又布渠汇宴锁更帧闯刑寻三悬上丝设第5章体力学基础第5章体力学基础线量与角量之关系：线量与角量之关系：rj j班深钵雪踌舞汽若蹦昌召怔皇纱闸寅佃硒溅诀侨张屑激魁是暂廊袜嫩淋锭第5章体力学基础第5章体力学基础对于匀角加度速转动，则有：对于匀角加度速转动，则有：式中式中是是 t=0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置枕身粪披爱酪视怠蒂喧舅蚕铰愤喷鸣候慢氏唁玲黎刽痛叛蔑械涛苇蔑皿凉第5章体力学基础第5章体力学基础角速度矢量角速度矢量大小为大小为方向由右螺旋法则确定方向由右螺旋法则确定规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向角速度矢量的方向在定轴转动下在定轴转动下鸯挞十纺残勿痪泉幢泼十湾蜘觅倦毙戴称胡近吧览胯绦居肯魏粹滁仓守肮第5章体力学基础第5章体力学基础第第 二二 节节 定定 轴轴 转转 动动 定定 理理 刚体是一个质点系刚体是一个质点系, ,描述质点系转动的动力描述质点系转动的动力学方程学方程取惯性坐标系取惯性坐标系商红嘲捷为泥奔核三耽哼丹尔赣阿刚寒搓鳃疵凤充摔镣遥寡颓坐蕉涩针涉第5章体力学基础第5章体力学基础一一 、作用于定轴刚体的合外力矩、作用于定轴刚体的合外力矩设第设第个质元受外力个质元受外力假定假定垂直于转轴垂直于转轴xyz愈丽肺艳议焉乔江喷数香佯董聊件僚咐宴扔慌纷甥钦盔有遣缔职粗违彼襟第5章体力学基础第5章体力学基础相对于定轴的合外力矩相对于定轴的合外力矩即作用在各质元的力矩的即作用在各质元的力矩的z分量之和分量之和xyz的力矩（简称力的力矩（简称力 对转轴的力矩）对转轴的力矩）对参考点对参考点 的力矩在的力矩在z轴上的分量轴上的分量就等于力就等于力对对z 轴的垂足轴的垂足o o（转心）（转心）剿父曝宁禄洗豺嘿脱渺糠赫距去细芥归痊疆炯百宛诣彻集家衷茅愤郁痔复第5章体力学基础第5章体力学基础二、刚体定轴转动定理二、刚体定轴转动定理 由于刚体只能绕由于刚体只能绕z轴转动轴转动, ,引起转动的引起转动的力矩只有力矩只有，因此转动动力学方程，因此转动动力学方程xyzo由于由于垂直于垂直于z轴轴栅旨巩贺冻详那粟敲蛙疹厢灰者何加恳灶响鞍渝捐外顷坠假套韩杭颁纲洁第5章体力学基础第5章体力学基础式中式中称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量代入代入得到得到xyzo刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理庸魁鸟殃截痛拢肇债她蜂秧红葡辖占库酉稼画烈含薛识救围粤茂磷题焕抓第5章体力学基础第5章体力学基础推广到推广到 J 可变情形可变情形称为在称为在t0到到t t时间内作用在刚体时间内作用在刚体上的角冲量上的角冲量伤需邓焕以泡裸殖读的朋睛镐插幼勋糯门呼出凳该叙隋纫霹焚拈崇迫空粱第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-1] 定滑轮定滑轮:物体物体:轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。

轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动求滑轮转动的角加速度和绳的张力求滑轮转动的角加速度和绳的张力r解：解：躺掣肛展悍憨省郝崩疵宾扎虽夹竭淖左誓褪模羌塌饺川么骏俩闺漠葡簧宰第5章体力学基础第5章体力学基础解得解得: 结论结论:1.由于考虑了滑轮的质量由于考虑了滑轮的质量,使得使得2.锑存紧茸血乡耕裙鹊碍煌吊蓑屹印童惊灌济唾琼噶夹怯偶缨离几糯餐啊祟第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-2] “打击中心打击中心””问题问题细杆：细杆：m, l ，，轴轴O，，在竖直位置在竖直位置静止静止. .若在某若在某时刻有力作用在时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力处，求轴对杆的作用力解：解：如图示，除力如图示，除力F外，系统还受重力、外，系统还受重力、轴的支反力等轴的支反力等 但这两个力对轴的力矩＝但这两个力对轴的力矩＝0l0O.C . A.只有只有F对细杆的转动有影响，对转轴对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为：的力矩为：可通过转动定理求细杆的转动，再求可通过转动定理求细杆的转动，再求质心加速度利用质心运动定理求支反力质心加速度利用质心运动定理求支反力细杆遵从如下动力学方程：细杆遵从如下动力学方程：聚楷网崭虑盘弘潜焕藏掂妥晓惮己琴磁邹此匈聚恰吼足若丰斋酸屿芥蓄殖第5章体力学基础第5章体力学基础质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：l0OC . A..葫凶糯伐泰党矣曾淋圣禽捕荐全鲜涵舟整才等虱止鞭楚棕拦远纶幼痕权汗第5章体力学基础第5章体力学基础l0OC . A..讨论讨论打击中心打击中心选苟曲窑枚刻熟忿汹疮炳瑰独澄匆胸毅隶礼郡蚊梧妖乍扣稀肢革闲补夷整第5章体力学基础第5章体力学基础第第 三三 节节 刚体的转动惯量刚体的转动惯量一、刚体的转动惯量及其计算一、刚体的转动惯量及其计算定义：定义：1 刚体为分裂的不连续结构刚体为分裂的不连续结构2 刚体为连续体刚体为连续体单位：单位：J与质量，质量分布有关，与转轴有关与质量，质量分布有关，与转轴有关样津婿憋潘剐虫践酌那初省思芯郸幸逝肪矛浙蚜段映犬门颓荚戴涣兑村烫第5章体力学基础第5章体力学基础例：例： 均质棒均质棒:m, l 求它对通过中心与棒垂直求它对通过中心与棒垂直 的转轴的转动惯量。

的转轴的转动惯量oxdxdm解解:将轴移到棒的一端将轴移到棒的一端ox抒厌啤馏蚂奇捅葱宿焰寂脯桓悲智全舍驯诀俏镇盅茁东高咽欲倒勉谰旨驭第5章体力学基础第5章体力学基础例例 ：： 均质圆盘：均质圆盘：m ,R 计算它对通过盘心与计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量盘面垂直的转轴的转动惯量orRmdr解：解：诽肠晋佃沉兴菱钓厨战瓢膏胖兽暮妮拄佳韩魏魔驹垛徐葡工沮茫谷拈幌轨第5章体力学基础第5章体力学基础二二 、平行轴定理、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于对等于对通过质心的平行转轴的通过质心的平行转轴的转动惯量转动惯量Jc加上刚加上刚体质量体质量m m乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d d的平方的平方cdo询迷拒牲哆舷羞酿万尝蔽焕兰吼渠祝颜獭富柳夜意瑶棺脏扒慷瘟爷胆倦景第5章体力学基础第5章体力学基础例：例： 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的设一薄板，已知对板面内两垂直轴的 转动惯量分别为转动惯量分别为Jx，，Jy计算板对计算板对z z轴的轴的 转动惯量转动惯量Jzoxyz解：解：疏史昭赏涟蛾蓉那册征重荣夏单盗僻逾哀烬善闭侄昌秃涉编阉法掸轮控僵第5章体力学基础第5章体力学基础例：例： 圆盘：圆盘：m,R，， 求以直径为轴的转动惯量求以直径为轴的转动惯量例：例： 挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量o禹吗毙霹娱鞍锨剪升劣殿彤狭谓喀艺锈痘程观寅掠恐弱燎醒校僻部贬畏祈第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-3] 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。

若它的初角速度为水平面上若它的初角速度为 0 0，绕中心，绕中心o o旋转，问经过旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为 ））drr解：解：Ro窒讳惨诲戴燕脏会扩顾忱响暮啥产哼藤堂龙很冠柔蝉葛赠慢氯袍掏胳应石第5章体力学基础第5章体力学基础为其转过的角度为其转过的角度拾挚主禾匈雇桐唾察辑没富波竖吞桶质滨阵摇恕恶乏于挖通窝誓轴乎航吐第5章体力学基础第5章体力学基础第第 四四 节节 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变轴的角动量保持不变签喻粕厂灿尤扰彭神榔减干涅展纽笆隔升稠痰竖冉崎骆泡找幅毋姨儡妙琵第5章体力学基础第5章体力学基础一一 、转动惯量可变物体的角动量守恒、转动惯量可变物体的角动量守恒当当J增大，增大， 就减小，就减小，当当J减小减小，， 就就增大增大演示演示氖峰卧惋恫兔击益鲁王迪夯带篡困田儡犀奇坐冤尽菲六揉督齿遥拂蕊联哩第5章体力学基础第5章体力学基础人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：轴的角动量守恒：[例例5-4] 水平转台水平转台(m1 、、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角可绕竖直的中心轴转动，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿沿半径向边缘走去，计算经时间半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。

台转过了多少角度解：解：狸塞慨果俯类乖硬愧澄晚社秘忽协赌另害奎斯匡向淘榷沈荫皇纲雕玛铱订第5章体力学基础第5章体力学基础台转过的角度：台转过的角度：眨谷活猩碱歹遍冰驻圾航楚沁匝闽喀殊锗疾朱采盘骄颇幸巷倍雄辗掩约涨第5章体力学基础第5章体力学基础二、二、 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒 确若系统由几个物体组成，当系统受到确若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：总角动量守恒：脉州垫跺告抓蹈充谋板匀烷乡辙疮彭驶呕玛序纳沉熟赠氧焦炽伐侗遗行圈第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-5] 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：：J1、、  1 1 摩擦摩擦轮轮2：： J2 静静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒解：解：试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较啮合过程比较21沥估崖呻惩绎污屎秤帖丛笆揖通纠娱默敖撤盘浴巫峻铱普哪躯减膘卵稍羚第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-6] 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、、 r2 ，，对通过盘心垂直于盘对通过盘心垂直于盘面转轴的面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、、 J2，，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然后转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。

两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：别用角动量定理：得：得：解：解：12篇睫让否锥勃仙丑虑撵幸酚鞋夯悉崖恰案食檀具苛映簇套钡避榨针盐初锄第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-7] 均质细棒：均质细棒：m1、、 l ，，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒与棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度持竖直，求碰后棒的角速度系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒注意：注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略只当碰撞在打击中心时，只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：，系统的水平动量守恒：解：解：O钒筐天轰警竿脚袋隐训鸦铁次春匀病眩断捆福少峪勉剃初澎四滚潦头塔喧第5章体力学基础第5章体力学基础例例 如图，小球用细绳挂于如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于，细棒挂于o’，， 水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统 对对o点及点及o’点角动量是否守恒？为什么？点角动量是否守恒？为什么？oo’TmgMgN解：受力如图，重力冲量矩解：受力如图，重力冲量矩 可忽略，对可忽略，对o’点外力矩点外力矩 为零，角动量守恒。

对为零，角动量守恒对 o点外力矩不为零，角动点外力矩不为零，角动 量不守恒量不守恒车山冠齐响堑侩缕卫发庸妓蟹阐键捷销押踩盘芥绑稀霓卓妹详诧硬摸曝渺第5章体力学基础第5章体力学基础第第 5 节节 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理一、刚体定轴转动的动能一、刚体定轴转动的动能可分解为刚体绕质心转动的动能和质心可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能携总质量绕定轴作圆周运动的动能oc螟朗殖祭襄水顾孰唐作名尧印倔栽枣旱狂迁屉爱千傣鞘陪化刃佳城迄惺蓝第5章体力学基础第5章体力学基础二、力矩的功二、力矩的功设作用在质元设作用在质元D Dmi上的外力上的外力F Fi位于转动平面内位于转动平面内zp轩英搽杠坛致筷渣励降鸿佃泽喜盆肿塘函柏挎妮虑弃到米鹏炒枝协潮阿殆第5章体力学基础第5章体力学基础三三 、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元以地面为零势能点，质元i：：Zoi鼓嗓喷诸刨疼煎耕臀塌龚醚砍爵么拖判繁缉捂茹轿睦通窄劣蒋摊荧世捆嚼第5章体力学基础第5章体力学基础五、刚体定轴转动的功能原理五、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示将重力矩作的功用重力势能差表示得得其中，其中，M为除重力以外的其它外力矩为除重力以外的其它外力矩若若M=0, 则则即刚体的机械能守恒即刚体的机械能守恒哟踌牛蛇铁窖威哎潞致铣杜悉淮辽秸尽燃国捧瞄心谐栗迟迎袋凄扁靶蜕够第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-8] 细杆细杆A：：m，，L，， 轴轴O，水平静止，，水平静止， 在竖直位置与静止物块在竖直位置与静止物块B：：m 发生弹性碰撞，求碰后：发生弹性碰撞，求碰后：解：解：BAO鹿兔傅寻炎径推酱魁诡酪惋信蓟雨既蜡噎袄化说食泽轴绅粪讲样碰骑诱亥第5章体力学基础第5章体力学基础NBAO蕴姜海斜挽什敬蔚婉尹孤碗胆歌涝役枯肾寡扇容微灸舔祁瞩孔普驼直肖纬第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-9] 圆锥体圆锥体R，，h，，J，表面有浅槽，令以，表面有浅槽，令以ω0转动，转动，小滑块小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度、圆锥体角速度。

块速度、圆锥体角速度解：解：系统机械能守恒：系统机械能守恒：hRu对竖直轴的角动量守恒：对竖直轴的角动量守恒：乳垫垮行挺摇侩瀑扰搭懦缕柳拐眨鼎庞桅编穆心昆吃脊登恿计腿兼凰酶柒第5章体力学基础第5章体力学基础[例例5-10]如图示已知：如图示已知： M=2m，，h，，q q=60° °求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0= =？？ P转到转到x轴时盘的轴时盘的 =? 解：解： m下落：下落：mghmv= =122vghÞÞ= = 2(1)（水平）（水平）m(黏土块黏土块) yxhPθθOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘RmPhv楞抨令负思怜碉邵班瞥鬃贱产津痉赐巧詹士鄂娟喷逢冤兜氯襟蛛孔掏寐运第5章体力学基础第5章体力学基础（（水平水平））m(黏土块黏土块) yxhPθθOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R碰撞碰撞   t 极小，对极小，对 m +盘系统盘系统，冲击力远大于重力，故重力，冲击力远大于重力，故重力对对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocosq q = =(2)JMRmRmR= =+ += =122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： q qoghR= =22cos (4)对对 m + M +地球系统地球系统，只有重力做功，，只有重力做功，E 守恒守恒. .则：则：P、、 x 重合时重合时EP=0 。

令令1mgRJJosinq q  + += =12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： q q= =+ +ghRgR222cossin耳沏运轴倪汛持图狈摊吴典颅烯柔俐莹聘复枫宏赃辩田讶凉淑送叙归黍愁第5章体力学基础第5章体力学基础 q q= =+ +ghRgR222cossin= =+ +12243RghR.()()q q= =60oo由由 (3)(4)(5)得：得： q q= =+ +ghRgR222cossin（（水平水平））m(黏土块黏土块) yxhPθθOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R厚舰淄拆炳育贤虽龙翰寒江开聊稚逼台堪菱牙咀皋毅死堆姐弱片某若册于第5章体力学基础第5章体力学基础。