插板法原理及应用.docx

插板法理论分析:假定M个元素，分成N组.M个元素中间有(M—1)个空，如果想分为N 组的话需要插入(N—1)个木板，所以方法数为:C (M—1, N—1)；注意插板法的三要件：①相同元素分配;②所分组是不相同的；③每组至少分到一个插板法的三种基本形式：(1) 将 8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种 方法?A21 B.28 C32 D.48楚香凝解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C(7 2)=21种， 选A•△•△•△•△•△•△•△•对于不满足第三个条件---即“每组至少一个”的情况,要先转化为标准形式,再使用插板法.(2) 将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放两个球,一共有多少 种方法？A°3 B°6 C12 D.21楚香凝解析:先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个;转化为5个相同的球分到3个不同的 盒子,每个盒子至少一^，插板法C (4 2)二6种，选B(3) 将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,一共有多少种方法?A15 B28 C.36 D.45楚香凝解析:此时因为每个盒子可以分 0 个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再 还回去转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C(10 2)=45 种，选D此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C(9 2) =36种、插同— 空有C (9 1)=9种，36+9=45种；对比三种不同的考法,其实它们之间是存在密切联系的。

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0个球，有C (10 2)种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C (7 2)种；8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C(4 2)种； 这三种基本形式，要牢牢掌握例1：某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料问共有多少种不同的发放方法？ 【国家2010】A12 B10 Co 9 Do 7楚香凝解析：每个部分先提前分8份材料，还剩下30—3x8=6份；相当于6份材料分给3个 部门，每个部门至少分1份,插板法C (5 2) =10种，选B例 2：某办公室接到 15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理假如每 名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有( )种分配方式 【广州2014】A15 B18 C21 D.28楚香凝解析:每人先分2份、还剩下15—3x2=9份；相当于9份公文分给三个人，每人至少1 份、至多8份,插板法C(8 2) =28种，选D例3：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？ 【黑龙江2015】A°7 Bo 8 Co 9 Do 10楚香凝解析：C(10一1,n一1)=36，代入n=8满足，选B补充：若问最少有多少个科室，因为C (9 2) =36，此时为3个科室。

例 4:把 10 个相同的球放入编号为 1，2,3 的三个盒子中,使得每个盒子中的球数不小于它的 编号，则不同的方法有( )种.A10 B.15 C.20 D25楚香凝解析：第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩下10-1—2=7 个球;相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C(6 2) = 15 种，选B例5:把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第 三个箱子可以放空球，有几种情况?A.15 B28 C36 D.66楚香凝解析:第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩下10—2+1=9个球； 相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少—球，插板法C (8 2) =28 种，选D例6:现有9块巧克力(其中5块有夹心)，若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？ 【粉笔模考】Ao 6 Bo 9 C.12 D25楚香凝解析:相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块,插板法C(4 2)=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A对于插板法的基础题型来说，最关键的—步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少—个"。

★插板法技巧进阶篇①在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉例6:某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用.已知每个部门都需要 新电脑，且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有( )种 【广东2013】A9 B.12 C.18 D.27楚香凝解析：插板法C (9 2) =36种；然后去掉不满足题意的情况(即有的部门多于5台): 选一个部门C(3 1)、先分给这个部门5台，再把剩下的5台分给3个部门，插板法C(4 2), 则不满足题意的情况有C (3 1)xC(4 2) =18种，满足题意的情况有36—18=18种，选C例7：有3个单位共订300份《人民日报》,每个单位最少订99份，最多101份.问一共有多 少种不同的订法？ 【黑龙江2010】A.4 B5 C.6 Do 7楚香凝解析：解法一：分类:99+100+101的情况有A (3 3)二6种，100+100+100的情况有一种，共7种, 选D解法二：每个单位先提前分98份，还剩下300-3x98=6份；相当于把6份日报分给3个单 位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份的情况，C(5 2) 一C (3 1) =7种，选D②有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多可以考虑从反面入手，利用“先全 部分下去再收回一部分"的思想.例3：四个小朋友分17个相同的玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种分法？ 【河南招警2011】Ao 18 B . 19 C . 20 D . 21 楚香凝解析：每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20—17=3个，每人至少交回0 个，插板法C (6 3) =20种，选C例4：某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题则立即停止答题.比赛规定:第 一题到第四题的答题时间分别限定在 10、8、6、3 秒内(选手每题的答题时间都计为整秒 且至少为1秒)，某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上的答题用时组 合有多少种： 【粉笔模考】A。

8 B15 C19 D.20楚香凝解析：总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0 秒、第四题最多去2秒;转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额 都分给第四题的情况，插板法,C (6 3)—1=19种，选C如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固.练习1:有 3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多102份问一共 有多少种不同的订法?A6 B.7 C.8 D10楚香凝解析：每个单位先提前分98份,还剩下300—3x98=6份；相当于把6份日报分给3 个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C (5 2) =10种，选D练习2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理假如 每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.52 B53 C54 D.55楚香凝解析:每人先分1份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、 至多9份，插板法C(11 2)=55种，去掉有人分到多于9份的情况(即10+1+1)、有C (3 1)=3 种，则满足题意的情况有55—3=52种选A练习3:某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。

假如每名 工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：A.43 B46 C.51 D.55楚香凝解析:每人先分2份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至 多8份，插板法C(11 2) =55种，去掉有人分到多于8份的情况:先选一^人分给他8份，剩 下的4份分给3个人，每人至少1个，有C(3 1) xC(3 2)=9种,则满足题意的情况有55—9=46 种，选B练习4:某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理假如 每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分配方式：A20 B27 C31 D.35楚香凝解析：每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3 份，插板法C (7 3)=35种,去掉有人交出4份的情况C (4 1) =4种，则满足题意的情况 有35—4=31种，选C练习5:袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有， 有多少种不同的抽法？A.35 B45 C75 D.105楚香凝解析:相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C (15 2) =105种； 去掉某种颜色多于10个球的情况，先选一种颜色C (3 1)、先分给它10个，剩下6个名额 再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板 C(5 2) =10，则满足题意的情况有 105—3x10=75 种，选 C★插板法技巧之比赛得分计算(1) 某社区组织开展知识竞赛，有5 个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5 道题. 计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目,答对一题得5分，答错一题扣2 分；抢答不到题目不得分。

那么，一个家庭在抢答环节有可能获得( )种不同的分数. 【广东2013】A18 B.21 C25 D.36楚香凝解析:有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把 5 道题分给答对、答错、不答 三个箱子，每个箱子至少分0道题,插板法C(7 2) =21种，选B通过分类可以看的更加清楚,答对一道和答错一道相差5+2=7分；① 抢到0道时，得分只有一种，即基础分10分；② 抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；③ 抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20;④ 抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25 ；⑤ 抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30;⑥ 抢到5道时，得分有六种，分别是0、7、14、21、28、35; 共 1 + 2+3+4+5+6 = 21 种选 B(2) 某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分,不答得 0分•设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？ 【深圳2008】A.45 B47 C49 D.51楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题， 插板法C(12 2)=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的出现重复的原因是4x1 +(—1) x4=0,即答对一道+答错四道二不答五道=0分。

如果先拿出5道题、这五道题共得了 0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C (7 2) =21,这 21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一 次所以满足题意的情况数有66—21=45种选A也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8这个得分，8=4x2=4x3+ (-1)x4,有两种可能： (1)答对两道、不答八道，(2。