华师大版九年级数学上册课本教材.docx

第 25 章 解直角三角形 2...25. 1 测量 3...25. 2 锐角三角函数 4...1. 锐角三角函数 4...2．用运算器求锐角三角函数值 7..25. 3 解直角三角形 9...阅读材料 ...................................................................................1..3.小结.................................................................................................1..4..复习题 1.5..课题学习 ..........................................................................................1..8.第 25 章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中常常遇到的问题．a 2 b 2 c2btan Ba 25 . 1 测量当你走进学校， 仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时， 你或许很想知道， 操场旗杆有多高？你可能会想到利用相像三角形的学问来解决这个问题．图 25.1.1如图 25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度， 再依据你的身高，便可以利用相像三角形的学问运算出旗杆的高度．假如就你一个人， 又遇上阴天， 那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法， 仍是利用相像三角形的学问．试一试如图 25．1．2 所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB 与水平线的夹角∠ BAC 为 34，并已知目高 AD 为 1.5 米．现在如按 1∶ 500 的比例将△ ABC画在纸上，并记为△ A′ B′ C′，用刻度直尺量出纸上 B′ C′的长度，便可以算出旗杆的 实际高度．你知道运算的方法吗？图 25.1.2实际上，我们利用图 25．1．2（ 1）中已知的数据就可以直接运算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满意的关系（即勾股定理） ，那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1． 小明想知道学校旗杆的高度，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面仍多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题 25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部 30． 0 米处，目测其顶，视线与水平线 的夹角为 40，目高 1．5 米． 试利用相像三角形的学问， 求出该建筑的高度． （精确到 0．1 米）（第 1 题）2． 在安静的湖面上，有一枝红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深多少？3． 如图，在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘A 处．另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线运算，假如两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第 3 题） 25 . 2 锐角三角函数1. 锐角三角函数在 25．1 中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都显现了两个相像的直角三角形，即按 1 的比例，就肯定有500△ABC ∽△ A ′B ′ C′．B C A CBC AC1，5001 就是它们的相像比．500当然也有 B CA CBC ．AC我们已经知道，直角三角形 ABC 可以简记为 Rt△ABC ，直角∠ C 所对的边 AB 称为斜边，用 c 表示，另两条直角边分别为∠ A 的对边与邻边，用 a、b 表示（如图 25． 2． 1）．图 25.2.1前面的结论告知我们，在 Rt△ ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠ A ＝ 34），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．摸索一般情形下，在 Rt△ ABC 中，当锐角 A 取其他固定值时，∠ A 的对边与邻边的比值仍会是一个固定值吗？图 25.2.2观看图 25． 2． 2 中的 Rt △AB1C1 、Rt △AB2C 2 和 Rt△AB3C3 ，易知Rt△AB1 C1 ∽Rt△ ∽ Rt△ ，所以 B1C1AC1＝ ＝ ．可见，在 Rt△ ABC 中，对于锐角 A 的每一个确定的值， 其对边与邻边的比值是唯独确定的．我们同样可以发觉，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与 对边的比值也是唯独确定的．因此这几个比值都是锐角 A 的函数，记作 sinA 、cosA、tanA 、cotA ，即sinA ＝A的对边斜边， cosA＝A的邻边，斜边tanA ＝A的对边 A的邻边， cotA ＝A的邻边．A的对边分别叫做锐角∠ A 的 正弦、余弦、正切、余切 ，统称为锐角∠ A 的三角函数 ．明显，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜ sinA ＜ 1，0＜ cosA＜ 1．依据三角函数的定义，我们仍可得出sin 2 Acos 2A ＝ 1，tanA cotA ＝1．图 25.2.3例 1 求出图 25． 2． 3 所示的 Rt△ ABC 中∠ A 的四个三角函数值．解sinA ＝ABBC 8AB 17BC 2 AC 2，28917 ，ACcosA ＝AB15 ，17BC 8tanA ＝ ，AC 15ACcotA ＝BC15 ．8探究依据三角函数的定义， sin30是一个常数．用刻度尺量出你所用的含 30角的三角尺中， 30角所对的直角边与斜边的长，与同伴沟通，看看常数 sin30是多少．通过运算，我们可以得出图 25.2.4对边 1sin30＝ 斜边 2 ，即斜边等于对边的 2 倍．因此我们可以得到：在直角三角形中，假如一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ．摸索上述结论仍可通过规律推理得到．如图 25． 2． 4， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90，∠ A＝ 30，作∠ BCD ＝ 60，点 D 位于斜边 AB 上，简洁证明△ BCD 是正三角形，△ DAC 是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过运算，依据锐角三角函数定义，分别求出以下∠ A 的四个三角函数值：（1） ∠A ＝ 30；（ 2） ∠ A ＝ 60；（ 3） ∠A ＝45．为了便于记忆，我们把 30、 45、 60角的三角函数值列表如下：α sinα cosα tanα cotα30 1245 1 160 12练习1． 如图，在 Rt△ MNP 中，∠ N＝ 90．∠P 的对边是 ，∠ P 的邻边是 ；∠M 的对边是 ，∠ M 的邻边是 ．〔 第 1 题〕 （第 2 题）2． 求出如下列图的 Rt △ DEC （∠ E＝ 90）中∠ D 的四个三角函数值．3． 设 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90，∠ A 、∠ B、∠ C 的对边分别为 a、b、c，依据以下所给条件求∠ B 的四个三角函数值：（1） a＝3， b＝ 4；（ 2） a＝5， c＝ 13．4． 求值： 2cos60＋ 2sin30＋ 4tan45．2．用运算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用运算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1） 求已知锐角的三角函数值例 2 求 sin63 52′ 41″的值．（精确到 0． 0001）解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度” ：SHIFT MODE再按以下次序依次按键：〔SETUP〕3 显示 D ．sin 63 o’” 52o’” 41o’” =显示结果为 0． 897859012．所以 sin63 52′ 41″≈ 0． 8979．例 3 求 cot70 45′的值．（精确到 0． 0001）解 在角度单位状态为“度”的情形下（屏幕显示D ），按以下次序依次按键：1 tan 70 o’” 45 o’” =显示结果为 0． 3492156334 ．所以 cot70 45′≈ 0． 3492．（2） 由锐角三角函数值求锐角例 4 已知 tanx＝ 0． 7410，求锐角 x．（精确到 1′）解 在角度单位状态为“度”的情形下（屏幕显示D ），按以下次序依次按键：SHIFT tan〔 tan 1 〕 07 4 1 0 =显示结果为 36． 53844577．再按键：SHIFT o’”显示结果为36 3218.4 ．所以 x≈ 36 32′．例 5 已知 cotx ＝ 0． 1950，求锐角 x ．（精确到 1′）分析 依据的值．tan x1cot x，可以求出 tanx 的值，然后依据例 4 的方法就可以求出锐角 x练习1． 使用运算器求以下三角函数值． （精确到 0． 0001 ） sin24， cos51 42′ 20″， tan70 21′， cot70．2． 已知以下锐角 α 的各三角函数值，使用运算器求锐角 α ．（精确到 1′）（1） sinα ＝ 0．2476；（2） cosα＝ 0． 4174；（3） tanα ＝ 0． 1890；（ 4） cotα ＝1． 3773．习题 25．21． 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90，已知 AC ＝ 21，AB ＝ 29，分别求∠ A 、∠ B 的四个三角函数值．2． 在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90， BC ∶ AC ＝ 3∶4，求∠ A 的四个三角函数值．3． 求以下各式的值．（1） sin30＋ sin 2 45－ 1 tan2 60；。