机械工程测量技术2.32.4节.ppt
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2.3 非周期信号的频谱非周期信号的频谱2.3.1 概述概述瞬变信号瞬变信号 : 除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号 图图 瞬变信号的波形瞬变信号的波形 a)a)电容放电时电压的变化电容放电时电压的变化 b) b)初始位移为初始位移为A A质量块的阻尼自由振动质量块的阻尼自由振动 c) c)受拉的弦突然拉断受拉的弦突然拉断准周期信号准周期信号 : 两个或两个以上的正、余弦信号叠加，两个或两个以上的正、余弦信号叠加， 如果任意两个分量的频率比不是有理数，如果任意两个分量的频率比不是有理数， 或者说各分量的周期没有公倍数或者说各分量的周期没有公倍数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 瞬变信号 瞬变信号１１附加附加Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3非周期非周期【准周期、瞬变】【准周期、瞬变】信号可以看成是周期 的周期信号。
信号可以看成是周期 的周期信号2.3.2 瞬变信号的频谱 瞬变信号的频谱——傅里叶变换傅里叶变换【对于】【对于】傅里叶变换傅里叶变换当：当：做代换做代换累加变成积分累加变成积分函数傅里叶级数的复指数展开式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4 对时间积分后仅是 的函数，并记作 对时间积分后仅是 的函数，并记作傅里叶变换（傅里叶变换（FT））傅里叶逆变换傅里叶逆变换 （（IFT））得到：得到：傅立叶积分式傅立叶积分式记为：记为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5以 代入，则有 以 代入，则有 用实频谱、虚频谱形式和幅值谱、相位谱形式表示用实频谱、虚频谱形式和幅值谱、相位谱形式表示 【以频率【以频率 表达】表达】Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6非周期信号的幅频谱非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同但是两者量纲不同—— ——为信号幅值的量纲，为信号幅值的量纲， —— 为信号单位频宽上的幅值，所以是频谱密度函数。
为信号单位频宽上的幅值，所以是频谱密度函数 工程测试中为了方便，仍称为频谱工程测试中为了方便，仍称为频谱 —— 离散的离散的 —— 连续的连续的周期信号的幅值谱周期信号的幅值谱 与与瞬变信号的幅值谱瞬变信号的幅值谱 的的区别区别Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 7解：解：例例2-3 求矩形窗函数的频谱 求矩形窗函数的频谱【森克函数】【森克函数】傅里叶变换（傅里叶变换（FT））【后一项积分等于零】【后一项积分等于零】【试凑【试凑】】Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 8以 以 为周期并随为周期并随 的增加作衰减震荡。
的增加作衰减震荡 是偶函数，是偶函数，在 在 处为处为 0 定义森克函数：定义森克函数：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 9 具有与原信号幅值相同的量纲， 具有与原信号幅值相同的量纲， 是单位频宽上的幅值是单位频宽上的幅值 非周期信号频域描述的基础是傅氏变换非周期信号频域描述的基础是傅氏变换非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点频谱连续，幅值衰减频谱连续，幅值衰减 与 量纲不同与 量纲不同矩形窗函数及其频谱Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 102.3.3 傅里叶变换的主要性质 傅里叶变换的主要性质 了解函数在某一分析域的变化了解函数在某一分析域的变化 对应在另一分析域中相应的改变规律对应在另一分析域中相应的改变规律 ——使复杂的信号分析得以简单化。
使复杂的信号分析得以简单化⑴⑴ 奇偶虚实性奇偶虚实性根据根据时域函数的奇偶性时域函数的奇偶性，，容易容易判断其实频谱和虚频谱的奇偶性判断其实频谱和虚频谱的奇偶性Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 11 若 若 则当 为常数时，有： 则当 为常数时，有：可把复杂信号分解为一系列简单信号可把复杂信号分解为一系列简单信号进行频谱分析处理进行频谱分析处理⑵⑵ 线性叠加性质线性叠加性质据傅里叶变换的定义据傅里叶变换的定义 容易证明：容易证明：各时间函数线性组合的傅变各时间函数线性组合的傅变等于各函数傅变的线性组合等于各函数傅变的线性组合Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 12 上式表明：上式表明： 傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系，傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系， 即：信号的波形与信号频谱函数的波形即：信号的波形与信号频谱函数的波形 有着互相置换的关系。
有着互相置换的关系⑶⑶ 对称性质 对称性质若：小若：小 的时域函数的傅里叶变换是大的时域函数的傅里叶变换是大 函数；函数；则：大则：大 的时域函数的傅里叶变换一定对应小的时域函数的傅里叶变换一定对应小 函数函数 【自变量为【自变量为 】则有：则有：若若 ：：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 13【如果【如果 ，， 则时域里函数则时域里函数 对应频域的函数关系一定是对应频域的函数关系一定是 】】对称性图示对称性图示【森克函数】【森克函数】Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 14证明：当信号 的时间尺度变为证明：当信号 的时间尺度变为 时，有时，有【【——变量代换变量代换 】】⑷⑷ 时间尺度改变性质 时间尺度改变性质即：时域时间变量增大 倍，即：时域时间变量增大 倍， 则频域的频率和幅值均缩小 倍。
则频域的频率和幅值均缩小 倍 在信号 幅值不变的条件下 在信号 幅值不变的条件下如：如：则：则：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 15 图 图1.10 尺度改变性质举例尺度改变性质举例 a) k=1 b) k=0.5 c) k=2记记磁带机磁带机磁带慢放磁带慢放磁带快放磁带快放现象举例k k=1=1时间尺度时间尺度压缩压缩（（k>1k>1））k k=2=2时间尺度时间尺度扩展扩展（（k<1k<1））k k=1/2=1/2Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 16 信号沿时间轴平移一常值 （为常数），则 信号沿时间轴平移一常值 （为常数），则 （ （2-31））证明：证明：其频域相移为其频域相移为时移特性时移特性⑸⑸ 时移和频移性质 时移和频移性质 此性质表明：在时域中信号沿时间轴平移一个常数值 时，此性质表明：在时域中信号沿时间轴平移一个常数值 时， 频谱函数将乘因子频谱函数将乘因子 ， ， 即即只改变相频谱，不会改变幅频谱只改变相频谱，不会改变幅频谱。
Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 17时移性质举例时移性质举例 ：：a) 时域矩形窗时域矩形窗 b) 图图a）对应的幅频和相频特性曲线）对应的幅频和相频特性曲线 c) 时移的时域矩形窗时移的时域矩形窗 d) 图图c）对应的幅频和相频特性曲线）对应的幅频和相频特性曲线 1、已证幅频谱；2、推广绝对幅值谱3、图示相频谱Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 18频移特性频移特性若频谱沿频率轴若频谱沿频率轴向右向右平移一个常值平移一个常值 ，，对应的时域函数将乘因子对应的时域函数将乘因子 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 19若若微分特性微分特性⑹⑹ 微分和积分特性微分和积分特性 则有微分特性则有微分特性 同理同理证明：证明：两边对时间微分：两边对时间微分：移项、变量代换：移项、变量代换：注意变换等式注意变换等式与变换关系的与变换关系的不同表达方式不同表达方式——即这两个式子即这两个式子 是等价的是等价的******相相等等同理可得同理可得Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 20 在振动测试中，位移、速度或加速度的综合应用。
在振动测试中，位移、速度或加速度的综合应用 如何如何 应用 应用？？积分特性积分特性【据微分特性】【据微分特性】【微分与变上限【微分与变上限 积分相抵】积分相抵】【整理】【整理】或：或：预备式预备式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 21 卷积定义： 为函数 与 的卷积，卷积定义： 为函数 与 的卷积，记为： 记为： 则有：则有：证明：证明：同理可证：同理可证： ⑺⑺ 卷积性质 卷积性质 【卷积定义】【卷积定义】【傅变定义】【傅变定义】【配方、自变量分离】【配方、自变量分离】时域的时域的卷积卷积对应于频域的对应于频域的乘积乘积；；时域的时域的乘积乘积对应于频域的对应于频域的卷积卷积Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 22在 时间内激发一个宽度为 在 时间内激发一个宽度为 ，高度为 ，高度为 的矩形脉冲的矩形脉冲 ，，则则定义单位脉冲函数为定义单位脉冲函数为 （（2-39））2.4 几种典型信号的频谱 几种典型信号的频谱2.4.1 单位脉冲函数及其频谱单位脉冲函数及其频谱 单位脉冲函数单位脉冲函数 函数 函数→1. 定义定义矩形脉冲与 函数矩形脉冲与 函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 23延时到 时刻，则延时到 时刻，则 （ （2-41））或或 （ （2-40））矩形脉冲与 函数矩形脉冲与 函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 24矩形脉冲与 函数矩形脉冲与 函数 函数下的面积函数下的面积——Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 25 函数与一个连续函数 函数与一个连续函数 乘积的积分结果乘积的积分结果—— 相当于在相当于在 函数发生的坐标位置函数发生的坐标位置 对对 的的采样采样【取值】。
取值】 函数与一个连续函数 函数与一个连续函数 相乘，其乘积仅在相乘，其乘积仅在 处处有 ，其余各点之乘积均为有 ，其余各点之乘积均为零零，即，即 函数的性质函数的性质2.采样性质采样性质（（2-43））（（2-44））【推广】【推广】Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 26 （ （2-45）） （ （2-46））3.卷积性质卷积性质—— 函数函数 与与 卷积的结果卷积的结果相当于把函数相当于把函数 平移到脉冲函数发生的坐标位置平移到脉冲函数发生的坐标位置同理有：同理有：平移效果平移效果δ函数是偶函数，即函数是偶函数，即*** 据据δ函数采样性质函数采样性质 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 27图例１图例１函数 函数 和 和 函数卷积的结果，就是 函数卷积的结果，就是 图形搬迁图形搬迁（以发生（以发生δ函数的位置作为新坐标原点的重新构图。
函数的位置作为新坐标原点的重新构图 图例２图例２Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 28—— 函数函数 和 函数和 函数卷积的结果卷积的结果，就，就是是 图形搬迁图形搬迁工程上经常遇到的是频谱卷积运算工程上经常遇到的是频谱卷积运算卷积性的应用卷积性的应用相当于把函数平移到相当于把函数平移到脉冲函数发生的坐标位置脉冲函数发生的坐标位置Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 29对 函数取傅立叶变换，得其频谱对 函数取傅立叶变换，得其频谱傅立叶逆变换傅立叶逆变换4. 函数的频谱函数的频谱白噪声白噪声【利用【利用 函数采样性质函数采样性质 只在只在 时时 取值】取值】Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 30傅里叶变换对傅里叶变换对δ函数是偶函数，即函数是偶函数，即 函数具有等强度、无限宽广的频谱， 函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为这种频谱常称为“均匀谱均匀谱” ——白噪声白噪声利用对称、时移、频移性质，可以得到以下傅里叶变换对利用对称、时移、频移性质，可以得到以下傅里叶变换对 ：时域时域时域时域频域频域频域频域Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 31据不定积分据不定积分 ：单边指数函数的表达式单边指数函数的表达式 傅立叶变换为 傅立叶变换为单边单边积分限积分限与符号与符号2.4.2单边指数函数信号的频谱单边指数函数信号的频谱Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 32单边指数函数的频谱图单边指数函数的频谱图时域波形时域波形幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 33正、余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。
正、余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换由欧拉公式知：由欧拉公式知： （（2-54）） （（2-55））可得正、余弦函数的傅里叶变换可得正、余弦函数的傅里叶变换 （（2-56））（（1.58））由前面的变换对可知：由前面的变换对可知：时域时域频域频域2.4.3 正、余弦函数信号的频谱正、余弦函数信号的频谱（（2-57））Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 34正弦、余弦函数及其频谱正弦、余弦函数及其频谱0tcos2f0t1/21/20fReX(f)-f0f00tsin2f0t1/2-1/20fImX(f)-f0f03-4###Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 。
