高中数学复习第十二讲解三角形（四大考向)（原卷版）.docx

第十二讲 解三角形（四大考向)一：考情分析命题解读考向考查统计1.高考对解三角形的考查，重点是（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正余弦定理解三角形、三角形面积公式2024新高考Ⅰ卷·152022新高考Ⅱ卷·182024新高考Ⅱ卷·15解三角形结合基本不等式2022新高考Ⅰ卷·18解三角形结合三角形的中线问题2023新高考Ⅱ卷·17解三角形结合三角形的垂线问题2023新高考Ⅰ卷·17二：2024高考命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解三角形，主要知识点就是使用正余弦定理及其变形来解三角形，其中也蕴含了三角函数的知识，例如辅助角公式等，难度是属于较易和一般的其实解三角形主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主，它侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力预计2025年主要还是考查正余弦定理解三角形，但是考生务必注意，不能只把精力放在大题的练习中，小题也需要兼顾练习三：试题精讲一、解答题1．（2024新高考Ⅰ卷·15）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．2．（2024新高考Ⅱ卷·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．高考真题练一、解答题1．（2022新高考Ⅰ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．3．（2022新高考Ⅱ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．4．（2023新高考Ⅱ卷·17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．知识点总结一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式；；．常见变形（1），，；（2），，；；；．（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）二、相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边②大边对大角 大角对大边③合分比：（2）内角和定理：①同理有：，．②；③斜三角形中，④；⑤在中，内角成等差数列．三、实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解三角形常用结论】 1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在 中，；；．名校模拟练一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（　　）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）在中，，且交于点，，则（   ）A． B． C． D．3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ）A． B． C． D．4．（2024·山西太原·三模）已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ）A． B． C．1 D．25．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（    ）A． B． C． D．4二、多选题6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（    ）A．B．的外接圆面积为C．若，，则D．若，，则7．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（    ）A．B．若 ，则 有两解C．当时， 为直角三角形D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是8．（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（    ）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则三、填空题9．（2024·新疆·三模）在中，，.则 .10．（2024·江西南昌·三模）在中，，则 .11．（2024·重庆九龙坡·三模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则 ；的最大值为 .12．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .13．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ．四、解答题14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．15．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．(1)求角的大小；(2)若，边上的高为，求三角形的周长．16．（2024·天津滨海新·三模）在中，内角所对的边分别为，，，．(1)求角的大小：(2)求的值；(3)求的值．17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)设函数．（ⅰ）求的定义域和最小正周期；（ⅱ）求的值．18．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．19．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且．(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值．20．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____．(1)求角；(2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值．21．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，求的面积;(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，且______．(1)求角的大小；(2)已知，是边的中点，且，求的长．23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且．(1)若的面积为，，求；(2)若，求的周长的最大值。