2024年高考真题——数学试卷（北京卷）解析版.pdf

1绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 12 页页，150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项求的一项1.已知集合|41Mxx，|13Nxx，则MN（）A.43xx B.11xx C.0,1,2D.14xx【答案】A【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得4,3MN，故选：A.2.已知i 1iz，则z（）A.1 iB.iC.1 i D.1【答案】C【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得i i 11 iz ，故选：C.3.求圆22260 xyxy的圆心到20 xy的距离（）A.2 3B.2C.3 2D.6【答案】C【解析】2【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260 xyxy，即221310 xy，则其圆心坐标为1,3，则圆心到直线20 xy的距离为221 323 211，故选：C.4.4xx的二项展开式中3x的系数为（）A.15B.6C.4D.13【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式，令432r，解出r然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】4xx的二项展开式为442144CC1,0,1,2,3,4rrrrrrrTxxxr，令432r，解得2r，故所求即为224C16.故选：B.5.已知向量a，b，则“0abab”是“ab或ab”的（）条件A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积分析可知 0abab等价于ab，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为 220ababab，可得22ab，即ab，可知 0abab等价于ab，若ab或ab，可得ab，即 0abab，可知必要性成立；若 0abab，即ab，无法得出ab或ab，例如1,0,0,1ab，满足ab，但ab且ab，可知充分性不成立；综上所述，“0abab”是“ab且ab”的必要不充分条件.3故选：A.6.已知 sin0f xx，11f x，21f x，12min|2xx，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x为 f x的最小值点，2x为 f x的最大值点，则12min22Txx，即T，且0，所以22T.故选：B.7.记水的质量为1lnSdn，并且 d 越大，水质量越好若 S 不变，且12.1d，22.2d，则1n与2n的关系为（）A.12nnB.12nnC.若1S，则12nn；若1S，则12nn；D.若1S，则12nn；若1S，则12nn；【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得12.1112.22eeSSnn，讨论S与 1 的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得112212.1ln12.2lnSdnSdn，解得12.1112.22eeSSnn，若1S，则112.12.2SS，可得112.12.2eeSS，即12nn；若1S，则1102.12.2SS，可得121nn；4若1S，则112.12.2SS，可得112.12.2eeSS，即12nn；结合选项可知 C 正确，ABD 错误；故选：C.8.已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 4，4，2 2，2 2，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C.2 3D.3【答案】D【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF 平面ABCD，可知PO平面ABCD，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,2 2PAPBABPCPD，分别取,AB CD的中点,E F，连接,PE PF EF，则,PEAB EFAB，且PEEFE，,PE EF 平面PEF，可知AB平面PEF，且AB平面ABCD，所以平面PEF 平面ABCD，过P作EF的垂线，垂足为O，即POEF，由平面PEF 平面ABCDEF，PO平面PEF，所以PO平面ABCD，由题意可得：2 3,2,4PEPFEF，则222PEPFEF，即PEPF，则1122PE PFPO EF，可得3PE PFPOEF，所以四棱锥的高为3.当相对的棱长相等时，不妨设4PAPC，2 2PBPD，5因为4 2BDPBPD，此时不能形成三角形PBD，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知11,x y，22,xy是函数2xy 图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log22yyxxB.12122log22yyxxC.12212log2yyxxD.12212log2yyxx【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可.【详解】由题意不妨设12xx，因为函数2xy 是增函数，所以12022xx，即120yy，对于选项 AB：可得1212122222 222xxxxxx，即12122202xxyy，根据函数2logyx是增函数，所以121212222loglog 222xxyyxx，故 A 正确，B 错误；对于选项 C：例如120,1xx，则121,2yy，可得12223loglog0,122yy，即12212log12yyxx，故 C 错误；对于选项 D：例如121,2xx ，则1211,24yy，可得122223logloglog 332,128yy ，即12212log32yyxx ，故 D 错误，故选：A.10.若集合2,|(),01,12x yyxt xxtx 表示的图形中，两点间最大距离为 d、面积为 S，则（）A.3d，1S B.3d，1S C.10d，1S D.10d，1S【答案】C【解析】【分析】先以 t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212yxyxx，结合图形分析求解即可.6【详解】对任意给定1,2x，则210 xxx x，且0,1t，可知222xxt xxxxxx，即2xyx，再结合 x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212yxyxx，如图阴影部分所示，其中1,1,2,2,2,4ABC，可知任意两点间距离最大值10dAC；阴影部分面积11 212ABCSS.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.已知抛物线216yx，则焦点坐标为_【答案】4,0【解析】【分析】形如22,0ypxp的抛物线的焦点坐标为,02p，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216yx，所以其焦点坐标为4,0.故答案为：4,0.712.已知,6 3，且与的终边关于原点对称，则cos的最大值为_【答案】12#0.5【解析】【分析】首先得出2,Zk k，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意2,Zk k，从而coscos2 cosk，因为,6 3，所以cos的取值范围是13,22，cos的取值范围是31,22，当且仅当3，即42,Z3k k时，cos取得最大值，且最大值为12.故答案为：12.13.已知双曲线2214xy，则过3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_【答案】12【解析】【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立3x 与2214xy，解得52y ，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k，则过点3,0且斜率为k的直线方程为3yk x，联立22143xyyk x，化简并整理得：222214243640kxk xk，由题意得2140k或2222244 364 140kkk，解得12k 或无解，即12k ，经检验，符合题意.故答案为：12.14.已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列第一个圆柱的直径为 65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为 230mm，求前两个圆柱的高度分别为_8【答案】115mm,23mm2【解析】【分析】根据体积为公比为 10 的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为1h，第二个圆柱的高为2h，则222221232532523022106532522hhh，故223mmh，1115mm2h，故答案为：115mm,23mm2.15.已知|kkMk ab，na，nb不为常数列且各项均不相同，下列正确的是_.na，nb均为等差数列，则 M 中最多一个元素；na，nb均为等比数列，则 M 中最多三个元素；na为等差数列，nb为等比数列，则 M 中最多三个元素；na单调递增，nb单调递减，则 M 中最多一个元素.【答案】【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断的正误，利用反例可判断的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断的正误.【详解】对于，因为 ,nnab均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故正确.对于，取112,2,nnnnab 则 ,nnab均为等比数列，但当n为偶数时，有1122nnnnab ，此时M中有无穷多个元素，故错误.对于，设0,1nnbAqA，0naknb k，若M中至少四个元素，则关于n的方程nAqknb至少有 4 个不同的正数解，若0,1，则由nyAq和yknb的散点图可得关于n的方程nAqknb至多有两个不同的解，矛盾；9若0,1，考虑关于n的方程nAqknb奇数解的个数和偶数解的个数，当nAqknb有偶数解，此方程即为nA qknb，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln0Akq，否则ln0Akq，因,nyA qyknb单调性相反，方程nA qknb至多一个偶数解，当nAqknb有奇数解，此方程即为nA qknb，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln0Akq即ln0Akq 否则ln0Akq，因,nyA qyknb 单调性相反，方程nA qknb至多一个奇数解，因为ln0Akq，ln0Akq 不可能同时成立，故nAqknb不可能有 4 个不同的正数解，故正确.对于，因为 na为单调递增，nb为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故正确.故答案为：【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，7a，A 为钝角，3sin2cos7BbB（1）求A；（2）从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积7b；13cos14B；5sin32cA 注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）23A；（2）选择无解；选择和ABC 面积均为15 34.10【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择，利用正弦定理得3B，。