几种常见函数的导数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,几种常见函数的,,导 数,,一、复习,1.,解析几何中,,,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与,,求值,;,物理学中,,,物体运动过程中,,,在某时刻的瞬时速,,度的精确描述与求值等,,,都是极限思想得到本质相同,,的数学表达式,,,将它们抽象归纳为一个统一的概念和,,公式,——,导数,,,导数源于实践,,,又服务于实践,.,2.,求函数的导数的方法是,:,,说明,:,上面的方法中把,x,换,x,0,即为求函数在点,x,0,处的,,导数,.,3.,函数,f(x,),在点,x,0,处的导数 就是导函数 在,x=,,x,0,处的函数值,,,即,.,这也是求函数在点,x,0,,,处的导数的方法之一4.,函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数的几何意义,,,就是曲线,y=,,,f(x,),在点,P(x,0,,f(x,0,)),处的切线的斜率,.,5.,求切线方程的步骤：,（,1,）求出函数在点,x,0,处的变化率 ，得到曲线,,在点,(x,0,,f(x,0,)),的切线的斜率。

2,）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,,二、新课,——,几种常见函数的导数,根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,.,公式,1: .,公式,2: .,请注意公式中的条件是,,,但根据我们所掌握的知识,,,只能就 的情况加以证明,.,这个公式称为幂函数的导数公式,.,事实上,n,可以是任意实数,.,,,公式,3: .,要证明这个公式,,,必须用到一个常用极限,同理可证,,,公式,4: .,,三、例题选讲,例,1:,求过曲线,y=,cosx,上点,P( ),且与过这点的切线垂,,直的直线方程,.,注,:,满足条件的直线称为曲线在,P,点的,法线,.,,,O A x,M P,y,例,2:,如图,,,质点,P,在半径为,10cm,的圆上逆时针做匀角速,,运动,,,角速度,1rad/s,,设,A,为起始点,,,求时刻,t,时,,,点,P,在,,,y,轴上的射影点,M,的速度,.,解,:,时刻,t,时,,,因为角速度,1rad/s,,,,所以,.,故点,M,的运动方程为,:y=10sint.,故时刻,t,时,,,点,P,在,y,轴上的射影点,M,的速度为,10cost,,cm/s.,,例,3:,已知两条曲线,y=,sinx,y,=,cosx,,,问是否存在这两条,,曲线的一个公共点,,,使在这一点处,,,两条曲线的切线,,互相垂直,?,并说明理由,.,解,:,设存在一个公共点,P(x,0,,y,0,),满足题设条件,.,由两条曲线的切线在点,P,互相垂直,,,则,cosx,0,(-sinx,0,),,=-1,,得,sinx,0,cosx,0,=1,,即,sin2x,0,=2.,这不可能,,,所以不存在满足题设条件的一个点,.,练习,1:,曲线,y=,sinx,在点,P( ),处的切线的倾斜角为,,,,,___________.,,例,4:,已知曲线 在点,P(1,1),处的切线与直线,m,平行且,,距离等于,,,求直线,m,的方程,.,设直线,m,的方程为,3x+y+b=0,,由平行线间的距离公式得,:,故所求的直线,m,的方程为,3x+y+6=0,或,3x+y-14=0.,,例,5:,求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角,.,,例,6:,求过点,P(3,5),且与曲线,y=x,2,相切的直线方程,.,说明,:,曲线上求在点,P,处的切线与求过点,P,的切线有区别,.,,,在点,P,处的切线,,,点,P,必为切点,,,求过点,P,的切线,,,点,P,,,未必是切点,.,应注意概念的区别,,,其求法也有所不同,.,解,:,设所求切线的切点在,A(x,0,,y,0,).,因为,A,是曲线,y=x,2,上的一点,,,所以,,y,0,=x,0,2,①,.,又因为函数,y=x,2,的导数为 所以过点,A(x,0,,y,0,),的,,切线的斜率为,由于所求切线过,P(3,5),和,A(x,0,,y,0,),两点,,,故其斜率又,,应为,②,.,联立,①,,,②,解得,:,,故切点分别为,(1,1),或,(5,25).,当切点为,(1,1),时,,,切线的斜率为,k,1,=2x,0,=2;,当切点为,(5,25),时,,,切线的斜率为,k,2,=2x,0,=10;,所以所求的切线有两条,,,方程分别为,:y-1=2(x-1),或,y-25=10(x-5),,即,y=2x-1,或,y=10x-25.,练习,2:,若直线,y=3x+1,是曲线,y=ax,3,的切线,,,试求,a,的值,.,解,:,设直线,y=3x+1,与曲线,y=ax,3,相切于点,P(x,0,,y,0,),,则有,:,,y,0,=3x,0,+1,①,,y,0,=ax,0,3,②,,3ax,0,2,=3.,③,由,①,,②,得,3x,0,+1=ax,0,3,,,由,③,得,ax,0,2,=1,,代入上式可得,:,,3x,0,+1=x,0,,x,0,=-1/2.,所以,a,•(-1/2),3,=1,a=4.,,四、小结与作业,1.,要切实掌握四种常见函数的导数公式,:(1) (c,为常,,数,;(2) ;(3) ;(4),2.,对于简单函数的求导,,,关键是合理转化函数关系式为,,可以直接应用公式的基本函数的模式,.,3.,能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综,,合性问题,.,4.,作业,:p.233~234,课后强化训练,.,,。