信号与系统第八章考研及期末考试.ppt

信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理1■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8.1离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)定义定义8.2离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质8.3用用DFT计算线性卷积计算线性卷积8.4频域采样频域采样8.5快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)8.6 FFT的应用的应用信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理2■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n从理论研究到工程实际从理论研究到工程实际L T I系统系统计算机可以计算机可以处理的处理的数据形式数据形式 离散离散有限有限：存储、运算离散：存储、运算离散：存储空间、运算速度有限：存储空间、运算速度有限时域对离散化时域对离散化后的序列截断后的序列截断或加窗或加窗 频域对离散信号的频频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只谱（周期）加窗即只取用一个周期取用一个周期 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理3■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n从理论研究到工程实际从理论研究到工程实际已有的理论基础已有的理论基础 时频域时频域均离散均离散 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理4■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8.18.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义8.1.18.1.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义从离散傅里叶级数从离散傅里叶级数DFS到离散傅里叶变换到离散傅里叶变换DFS变换对为：变换对为：   由于由于对k和和n都是以都是以N为周期的，所以当周期的，所以当也是以也是以N为周期周期时。

其本身其本身时，可以利用，可以利用DFS的周期性，只需要在的周期性，只需要在时域和域和频域各取一域各取一个周期，个周期，计算一个周期，将所得算一个周期，将所得结果果进行周期延拓，即可以得行周期延拓，即可以得到它到它们是以是以N为周期时，则为周期时，则和和是无限是无限长的，但在的，但在计算序列的算序列的频谱和和 虽然虽然信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理5■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换     由于在由于在DFS中，只用到一个周期的中，只用到一个周期的N个个值，取它，取它们的主的主值序列：序列：x(n) (0≤≤ n ≤≤N-1)和和X(k) (0≤≤ k ≤≤N-1)，等式依然成立，，等式依然成立，这就是就是离散傅里叶离散傅里叶变换，即，即k=0,1,…, N-1 n=0,1,…, N-1 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理6■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换k=0,1,…, N-1 DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将DFS变换对中的变换对中的序列取主值，就得到了序列取主值，就得到了DFT，将，将DFT进行周期延拓就得到进行周期延拓就得到DFS，因，因此此DFT隐含周期性。

隐含周期性  DFT与与DFS的关系：的关系： 有限长序列有限长序列x(n)是非周期的，其频谱应该是连续的，但用是非周期的，其频谱应该是连续的，但用DFT得得到的到的x(n)的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x(n)延拓成周延拓成周期序列而造成的期序列而造成的 n=0,1,…, N-1 8.1.2 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）与离散傅里叶级数（）与离散傅里叶级数（DFS）的关系）的关系信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理7■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8.1.3  DFT与与DTFT和和ZT变换的关系变换的关系 设x (n)是一个是一个长度度为N的有限的有限长序列，序列， 则x (n)的的离散离散时间傅傅里叶里叶变换为 将将Ω离散化，在离散化，在0~2π上从上从0开始等间隔地取开始等间隔地取N个点，即个点，即即可得到离散傅里叶即可得到离散傅里叶变换DFT对X(Ω)进行进行均匀采均匀采样，， 1.  DTFT和和DFT的关系的关系          X(k) 是序列的傅立叶变换是序列的傅立叶变换X(Ω) 的在区间的在区间[0,  2π]上的上的N点等间隔采样，采样间隔为：点等间隔采样，采样间隔为： ΩN=2π/N。

信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理8■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换为求为求DFT的反变换，将的反变换，将DFT两边乘以两边乘以下面证明下面证明IDFT的唯一性的唯一性并对并对k从从0到到N-1求和，得求和，得上式右边上式右边=Nx(n)n=0, 1, …, N-1信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理9■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2.  DFT和和Z变换的关系变换的关系        比较比较z变换与变换与DFT变换，可见当变换，可见当设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，， 其其z变换和变换和DFT分别为：分别为：时，则有时，则有  X(k)也是也是z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔采样值，点等间隔采样值，采样间隔采样间隔为：为：信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理10■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理11■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例例   求求x(n) = R4(n) 的的DTFT及及16点和点和32点的点的DFT。

 解解  根据根据DTFT的定义得的定义得 其其频谱为连续的，如的，如图(b)所示所示 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理12■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换设变换区间设变换区间N=16，， 则则，，n=0, 1, …, 15根据根据DFT的定义得的定义得 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理13■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图图6-1 DFT与与DTFT的关系的关系图6-1(c) 为16点点DFT的的频谱（（实线），是离散的，），是离散的，实际上是上是对对DTFT连续频谱离连续频谱离散化的结果，散化的结果，虚虚线是是DTFT的的频谱频谱图6-1(d) 为32点点DFT的的频谱（其（其DFT变换省略） 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理14■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换解：解：例例 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理15■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换k＝＝1时，时，k≠1时，时，k＝＝7时，时，k≠7时，时，信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理16■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当当k=7时，时，当当k=1时，时，信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理17■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换解：解：信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理18■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理19■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当当k=7时，时，DFT一般为复数一般为复数当当k=1时，时，信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理20■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换解：解：例例 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理21■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换和和            分分别为            和和              的的N点点DFT.若若         和和          是两个有限是两个有限长度序列，度序列，长度分度分别为     和和      ，，则其线性组合则其线性组合的的N点点DFT为 1.  线性性质线性性质8.2  离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理22■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换当当k的取值不受限制时，的取值不受限制时，X(k) 以以N为周期。

为周期2. DFT的隐含周期性的隐含周期性信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理23■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换设设x*(n)是是x(n)的复共轭序列，的复共轭序列， 长度为长度为N       X(k)=DFT[x(n)]则则                       DFT[x*(n)]=X*(N-k),                   0≤k≤N-1             且且           X(N)=X(0)3.  复共轭序列的复共轭序列的DFT证明：证明：又由又由X(k)的隐含周期性有的隐含周期性有X(N)=X(0),它的末点就是它的起始点它的末点就是它的起始点用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明     DFT[x*(N- n)]=X*(k)                信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理24■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.  DFT的共轭对称性的共轭对称性l有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：有限长共轭对称序列：    xep(n)=x*ep(N-n),    0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：有限长共轭反对称序列：xop(n)= -x*op(N-n),  0≤n≤N-1DFT的的对称性对称性是关于是关于N/2点的对称性。

点的对称性注意：注意：X(k)也是序列，也是序列， 对对X(k)也成立有限长共轭对称序列有限长共轭对称序列有限长共轭反对称序列有限长共轭反对称序列信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理25■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.  DFT的共轭对称性的共轭对称性l有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：有限长共轭对称序列：    xep(n)=x*ep(N-n),    0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：有限长共轭反对称序列：xop(n)= -x*op(N-n),  0≤n≤N-1DFT的的对称性对称性是关于是关于N/2点的对称性点的对称性注意：注意：X(k)也是序列，也是序列， 对对X(k)也成立N/2左边左边N/2右边右边当当N为偶数时，为偶数时， 将上式中的将上式中的n换成换成 可得到可得到信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理26■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 任何有限长序列任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，量和共轭反对称分量之和， 即即               x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N-1        将上式中的将上式中的n换成换成N-n，， 并取复共轭，并取复共轭， 可得可得              x*(N-n)  =  x*ep(N-n)  +  x*op(N-n)  =  xep(n)  - xop(n)          xep(n)=x*ep(N-n),    0≤n≤N-1xop(n)= -x*op(N-n),  0≤n≤N-1信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理27■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换1)  如如果果   x(n)=xep(n)+xop(n)，，       0≤n≤N-1其中其中4.  DFT的共轭对称性的共轭对称性信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理28■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2) 如果如果    x(n)=xr(n)+jxi(n)信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理29■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换其中其中   Xep(k)=DFT[xr(n)], 是是X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量;           Xop(k)=DFT[jxi(n)], 是是X(k)的共轭反对称分量。

的共轭反对称分量信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理30■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明具有共轭反对称性具有共轭反对称性证明了证明了 Xep(k)=DFT[xr(n)] 是是X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量实际上实际上信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理31■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换设设x(n)是是长长度度为为N的的实实序序列列，，且且X(k)=DFT[x(n)]，，对对于于纯纯实数序列，实数序列，x(n)=xr (n)，，X(k)只有共轭偶对称部分，只有共轭偶对称部分，即即X(k)=Xep(k)，表明实数序列的，表明实数序列的DFT满足共轭对称性，故满足共轭对称性，故 X(k)=X*(N-k)，，0≤k≤N-1DFT[x(n)]=DFT[xr(n)]= X(k)                  =Xep(k)                  = X*ep (N-k)                  = X* (N-k)3) 实信号实信号DFT的共轭对称性的共轭对称性信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理32■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n X(k)=X*(N-k)，，0≤k≤N-1 ，，利用这一特性，只要知道一半数目利用这一特性，只要知道一半数目的的X(k)，就可得到另一半的，就可得到另一半的X(k)，这一特点在，这一特点在DFTDFT运算中可以加运算中可以加以利用，以提高运算效率。

以利用，以提高运算效率4) DFT的共轭对称性的意义的共轭对称性的意义n 一次一次DFT变换两个实序列变换两个实序列将两个实序列，将两个实序列， 构成新序列构成新序列x(n)如下如下 ：：                   x(n)=x1(n)+jx2(n)对对x(n)进行进行DFT，， 得到得到             X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k)  由由 Xep(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]  Xop(k)=DFT[jx2(n)]=1/2[X(k)-X*(N-k)] 得得 X1(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]  X2(k)=DFT[x2(n)]= -j1/2[X(k)-X*(N-k)] 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理33■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换5．．DFT的对偶性的对偶性设长度为设长度为N的序列的序列              的的DFT为为                                  ，则，则信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理34■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换ü对应于于DTFT的平移的平移ü对应于对应于DFT的移位的移位m＝＝1m＝＝3m＝＝2圆周移位序列圆周移位序列6.  DFT的圆周（循环）移位性质的圆周（循环）移位性质信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理35■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换ü循循环移位示意移位示意图右移出去的右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。

个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理36■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理37■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换ü时域循域循环移位特性移位特性若若时域序列的圆周位移的时域序列的圆周位移的DFT为原来的为原来的DFT乘以一个因子乘以一个因子则则N为偶数时为偶数时 若若则则信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理38■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换ü频域循域循环移位特性移位特性若若则则在频域的频移在频域的频移l，则，则IDFT在时域在时域x(n)乘以一个乘以一个若若则则信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理39■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换若若x(n)和和h(n)均为均为N点有限长序列，且点有限长序列，且则则N点的点的圆周卷积圆周卷积x(n)和和h(n)都都需是需是N点点定义为定义为圆周卷积圆周卷积两序列循环卷积的长度为两序列循环卷积的长度为N7．．DFT的时域离散圆周卷积定理的时域离散圆周卷积定理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理40■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换用用DFT计算计算循环卷积循环卷积则由时域循环卷积定理有则由时域循环卷积定理有  Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),           0≤k≤N-1y(n)=IDFT[Y(k)]当当L很大时很大时,在频域计算提高了运算速度。

在频域计算提高了运算速度信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理41■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换l圆周卷积的计算特点圆周卷积的计算特点ü圆卷卷积只在只在                        区间内进行，圆卷积结果也区间内进行，圆卷积结果也为为 N点有限长序列点有限长序列üx(m)是把是把x(n )变量代换变量代换后的后的N点序列，点序列，                                  是把是把h(n )变量代换、圆反转、圆移位后，取其前变量代换、圆反转、圆移位后，取其前N个点后个点后  的的N点序列ü对每一个每一个n点点圆移位，先移位，先计算算对应各个各个m点的点的乘乘积，再对，再对 范范围内的全部乘内的全部乘积求和求和ü每一个每一个n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共相乘、求和共5个步骤以个步骤以4点圆周卷积为例，全部过程可以用点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：矩阵表示为：信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理42■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n时域圆周卷积定理l圆周卷积圆周卷积5个步骤的图解举例：个步骤的图解举例：    变量代换变量代换—圆反转圆反转—圆移位圆移位—相乘相乘—求和求和 例例 用图解法求有限长序列用图解法求有限长序列 的的4点点圆卷卷积          。

解解 （（1）变量代换）变量代换x[n]、、h[n]的变量置换为的变量置换为m，有，有 （（2 2）圆反转）圆反转把把h[m]圆反转圆反转为为 （（3 3）圆移位）圆移位——相乘相乘——求和求和信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理43■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n时域圆周卷积定理解解 （（3 3）圆移位）圆移位——相乘相乘——求和求和1234412342612相乘相乘求和求和 圆周卷积圆周卷积 线性卷积线性卷积 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理44■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换n时域圆周卷积定理求和求和 信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理45■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换l圆周卷积圆周卷积5个步骤的图解举例：个步骤的图解举例：    变量代换变量代换—圆反转圆反转—圆移位圆移位—相乘相乘—求和求和 例例 求有限长序列求有限长序列 的的4点点圆卷卷积             解：解：信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理46■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理47■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例例 用时域卷积定理求有限长序列用时域卷积定理求有限长序列 的的4点点圆卷卷积            。

解解信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理48■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换若若则则8．．DFT的频域离散圆周卷积定理的频域离散圆周卷积定理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理49■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换         实实际际问问题题多多数数是是求求解解线线性性卷卷积积，，如如信信号号x(n)通通过过系系统统h(n)，，其其输输出出就就是是线线性性卷卷积积 y(n)=x(n)*h(n)而而循循环环卷卷积积比比起起线线性性卷卷积积，，在在运运算算速速度度上上有有很很大大的的优优越越性性，，它它可可以以采采用用快快速速傅傅里里叶叶变变换换（（FFT））技技术术，，若若能能利利用用循循环环卷卷积积求求线线性性卷卷积积，，会会带带来来很很大大的方便         现现在在我我们们来来讨讨论论上上述述 x(n)与与h(n)的的线线性性卷卷积积，，如如果果  x(n)、、h(n)为为有有限限长长序序列列，，则则在在什什么么条条件件下下能能用用循循环环卷卷积积代代替替而而不不产产生失真8.3  用用DFT计算线性卷积计算线性卷积信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理50■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(1) 有有限长序列线性卷积与循环卷积的关系限长序列线性卷积与循环卷积的关系线性卷积：线性卷积：循环卷积为：循环卷积为：8.3  用用DFT计算线性卷积计算线性卷积信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理51■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换有限长序列有限长序列x(n)为为循环卷积为：循环卷积为：信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理52■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换即即信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理53■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换如如果果两两个个序序列列的的长长度度分分别别为为N和和M，，线线性性卷卷积积后后的的长长度度为为 N+M-1 ，，因因此此，，如如果果循循环环卷卷积积的的长长度度 L

只只有有 L≥N+M-1 时时，，才才不不会会产产生生混混叠叠，，此此即即循循环环卷卷积积等等于于线线性性卷卷积积的的条件2) 循环卷积等于线性卷积的条件循环卷积等于线性卷积的条件(3) 用用DFT计算线性卷积的方法计算线性卷积的方法如果两个序列如果两个序列h(n)和和x(n)的长度分别为的长度分别为N和和M，，取取L=N+M-1作为循环卷积的长度；作为循环卷积的长度；在在h(n)后补上后补上L-N个零值点；个零值点；在在x(n)后补上后补上L-M个零值点个零值点信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理54■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换－3－2－1012N1-1序号计算结果1234000x[m]1234000123h[0-m]y[0]=1×4＝4123400012h[1-m]y[1]=1×3+2×4＝1112340001h[2-m]y[2]=1×2+2×3+3×4＝201234000h[3-m]y[3]=1×1+2×2+3×3+4×4＝300123400h[4-m]y[4]=2×1+3×2+4×3＝200012340h[5-m]y[5]=3×1+4×2＝110001234h[6-m]y[6]=4×1＝4N1N2-1l线性卷积线性卷积上例线性卷积过程信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理55■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理56■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图图6-4 线性卷积与循环卷积的比较线性卷积与循环卷积的比较(a) 线性卷积线性卷积      (b)循环卷积循环卷积信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理57■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理58■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例例 用用DFT求求的的线卷卷积             。

解解信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理59■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8.4   频率域采样频率域采样由由X(k)不失真地恢复不失真地恢复x(n)的条件是什么？采样多少点的条件是什么？采样多少点才能由才能由X(k)恢复恢复x(n)?如果其收敛域包含单位圆如果其收敛域包含单位圆(即即x(n)存在傅里叶变换存在傅里叶变换) 在单位圆上对在单位圆上对X(z)等间隔采样等间隔采样N点得到点得到0≤k≤N-11.  由由X(k)不失真地恢复不失真地恢复x(n)的条件的条件xN(n)=IDFT［［X(k)］，］， 0≤n≤N-1信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理60■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换xN(n)=IDFT［［X(k)］，］， 0≤n≤N-1采样点采样点N为多少时，为多少时，xN(n)=x(n)？？或者说，或者说，采样点数采样点数N为多少时，才能由为多少时，才能由X(k)得到得到x(n)?由由DFS来解决此问题，根据来解决此问题，根据DFT与与DFS的关系的关系xN(n)可以看成是可以看成是x((n))N的主值序列的主值序列0≤k≤N-1信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理61■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换0≤k≤N-1信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理信号分析与处理62■第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换因为由因为由X(k)求得的求得的x(n)以以N为周期为周期，， xN(n)为其主值序列，当为其主值序列，当N

时，会造成时域混叠如如果果序序列列x(n)的的长长度度为为L，， 则则只只有有当当频频域域采采样样点点数数N≥L时时，， 才才有有                xN(n)=IDFT［［X(k)］］=x(n)即可由频域采样即可由频域采样X(k)恢复原序列恢复原序列x(n)，， 否则产生时域否则产生时域混叠现象混叠现象 这就是所谓的这就是所谓的频域采样定理频域采样定理。