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大学物理学-习题解答(第十-十四章) 第十章 机械振动 习题十 10-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题10-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题10-1图 解：要使一个系统作谐振动，必需同时满意以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置四周作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 d2 2 0 2dt 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 其次，球在运动中所受的三个力：重力，地面赐予的弹力，击球者赐予的拍击力，都不是线 性回复力． (2)小球在题10-1图所示的状况中所作的小弧度的运动，是谐振动．明显，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为 mgsin ，如题10-1图(b) S →0，所以回复力为 mg .式中负号，表示回R 复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点四周的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿其次定律， 所示．题 中所述， S＜＜R，故 在凹槽切线方向上有 d2 mR2 mg dt 令 2 g ，则有 R d2 2 0 2dt 10-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题10-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题10-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F F1 F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有 F k串xF1 k1x1 F2 k2x2 又有 x x1 x2 x 所以串联弹簧的等效倔强系数为 FFF 1 2 k串k1k2 k串 k1k2 k1 k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k k1k2/(k1 k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为 T 2 2 m(k1 k2)m 2 k串k1k2 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F F1 F2，即x x1 x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有 k并x k1x1 k2x2 故 k并 k1 k2 同上理，其振动周期为 T 2 m k1 k2 10-3 如题10-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期． 题10-3图 解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题10-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面对下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有 d2x mgsin T1 m2 ① dt T1R T2R I ② d2x 2 R T2 k(x0 x) ③ dt 式中x0 mgsin /k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 Id2x (mR )2 kxR Rdt kR2 令 mR2 I 2 则有 d2x 2x 0 2dt 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 mR2 Im I/R2 T 2 ( 2 ) KkR2 2 10-4 质量为10 10律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2 3 kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x 0.1cos(8 2 )3 (SI)的规 5s与t1 1s两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为x Acos( t 0)，则知： A 0.1m, 8 , T 2 1 s, 0 2 /3 4 1 1 又 vm A 0.8 m s 2.51m s am 2A 63.2m s 2 (2) Fm am 0.63N 12 mvm 3.16 10 2J 2 1 Ep Ek E 1.58 10 2J 2E 当Ek Ep时，有E 2Ep， 即 12112kx (kA) 222 ∴ x 22 A m 220 (3) (t2 t1) 8 (5 1) 32 10-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数 表示．假如t 0时质点的状态分别是： (1)x0 A； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过x A 处向负向运动； 2 (4)过x A2 处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． x0 Acos 0 解：由于 v Asin 0 0 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 1 2 3 3 32 4 5 4 2 t ) T2 3 x Acos(t ) T22 x Acos(t ) T32 5 x Acos(t ) T4x Acos( 10-6 一质量为10 10 3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t 0时位移为 24cm．求： (1)t 0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x 12cm处所需的最短时间； (3)在x 12cm处物体的总能量． 解：由题已知 A 24 10 2m,T 4.0s ∴ 又，t 0时，x0 A, 0 0 故振动方程为 2 0.5 T rad s 1 x 24 10 2cos(0.5 t)m (1)将t 0.5s代入得 x0.5 24 10 2cos(0.5 t)m 0.17m F ma m 2x 10 10 () 0.17 4.2 10N 2 方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t 0时， 0 0， 3 2 3 A ,且v 0,故 t 23 2 / s ∴ t 323 t t时 x0 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 E 121 kA m 2A2221 10 10 3()2 (0.24)2 22 7.1 10 4J 10-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，赐予向上的初速度 v0 5.0cm s 1，求振动周期和振动表达式． m1g1.0 10 3 9.8 1 解：由题知k 0.2N m 2 x14.9 10 而t 0时，x0 1.0 10 2m,v0 5.0 10 2m s-1 ( 设向上为正) 又 k0.22 5,即T 1.26s m 8 10 3 v0 2 A x0 ( )2 22 5.0 10 22 (1.0 10) () 5 2 10 2m v05.0 10 25 tan 0 1,即 0 x0 1.0 10 2 54 ∴ x 5 2 10 2cos(5t )m 4 10-8 图为两个谐振动的x t曲线，试分别写出其谐振动方程． 题10-8图 解：由题10-8图(a)，∵t 0时，x0 0,v0 0, 0 即 3 ,又,A 10cm,T 2s 2 2 T rad s 1 3 )m 2 A5 由题10-8图(b)∵t 0时，x0 ,v0 0, 0 23 故 xa 0.1cos( t t1 0时，x1 0,v1 0, 1 2 2 又 1 1 ∴ 5 35 2 5 6 56 5 )m 3 故 xb 0.1cos( t 10-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开头振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开头振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2 MM m，落下重物后振动周期为2 ，即增大． kk mg ．碰撞时，以m,M。