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线段和差最值问题 (2).docx

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    • 细心整理专题一.线段和〔差〕的最值问题【学问依据】1. 线段公理——两点之间,线段最短;2. 对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等;②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;3. 三角形两边之和大于第三边;4. 三角形两边之差小于第三边;5、 垂直线段最短一、确定两个定点:1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;〔1〕点A、B在直线m两侧: 〔2〕点A、B在直线同侧: A、A’ 是关于直线m的对称点2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小〔1〕两个点都在直线外侧: 〔2〕一个点在内侧,一个点在外侧:〔3〕两个点都在内侧:〔4〕、台球两次碰壁模型变式一:确定点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二:确定点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、一个动点,一个定点:〔一〕动点在直线上运动: 点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小〔在图中画出点P和点B〕1、两点在直线两侧: 2、两点在直线同侧:〔二〕动点在圆上运动:点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小〔在图中画出点P和点B〕1、点及圆在直线两侧:2、点及圆在直线同侧:三、确定A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。

      原理用平移学问解)〔1〕点A、B在直线m两侧:过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点〔2〕点A、B在直线m同侧:四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m上,求一点P,使PA及PB的差最大;〔1〕点A、B在直线m同侧:〔2〕点A、B在直线m异侧:过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’,PA-PB最大值为AB’Ⅰ.专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题,而线段和〔差〕问题,要归归于几何模型:〔1〕归于“两点之间的连线中,线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型.〔2〕归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型. Ⅱ.典型例题剖析一.归入“两点之间的连线中,线段最短”Ⅰ.“饮马”几何模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.模型应用:1.如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.那么PB+PE的最小值是 .2.如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,那么PA+PC的最小值是 . 3.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,那么BM+MN的最小值是 .第1题 第2题 第3题 第4题4.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.5.如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,那么PA+PB的最小值为              .第5题 第6题 第7题6.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,那么PA+PB的最小值为              .7.确定A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,假设PA+PB长度最小,那么最小值为             .假设PA—PB长度最大,那么最大值为             .8.确定:如下图,抛物线y=-x2+bx+c及x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0).〔1〕求抛物线的解析式;〔2〕设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S△PAB=1的点P有几个?并求出全部点P的坐标;〔3〕设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由.Ⅱ.台球两次碰壁模型确定点A位于直线m,n 的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点,使PA+PQ+QA周长最短.变式:确定点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线m、n分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.模型应用:1.如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.2.如图,确定平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3〕,B(4,-1〕设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:是否存在这样的点M(m,0〕,N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?假设存在,请求出m=______,n = ______〔不必写解答过程〕;假设不存在,请说明理由.中考赏析:1.著名的恩施大峡谷〔A〕和世界级自然爱惜区星斗山〔B〕位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一效劳区P,向A、B两景区运输游客.小民设计了两种方案,图〔1〕是方案一的示意图〔AP及直线X垂直,垂足为P〕,P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图〔2〕是方案二的示意图〔点A关于直线X的对称点是A',连接BA'交直线X于点P〕,P到A、B的距离之和S2=PA+PB.〔1〕求S1、S2,并比拟它们的大小;〔2〕请你说明S2=PA+PB的值为最小;〔3〕拟建的恩施到张家界高速公路Y及沪渝高速公路垂直,建立如图〔3〕所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一效劳区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.2.如图,抛物线y=x2-x+3和y轴的交点为A,M为OA的中点,假设有一动点P,自M点处启程,沿直线运动到x轴上的某点〔设为点E〕,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点〔设为点F〕,最终又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长.Ⅲ.确定A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移学问解)〔1〕点A、B在直线m两侧: 〔2〕点A、B在直线m同侧:模型应用:1. 如图,抛物线y=-x 2-x+2的顶点为A,及y 轴交于点B.(1)求点A、点B的坐标;(2)假设点P是x轴上随意一点,求证:PA-PB≤AB;(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.2. 如图,确定直线y=x+1及y轴交于点A,及x轴交于点D,抛物线y=x 2+bx+c及直线交于A、E两点,及x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).〔1〕求该抛物线的解析式;〔3〕在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标.yxCBADOEy 3. 如图,直线y=-x+2及x轴交于点C,及y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点,⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A于点D.〔1〕求点D的坐标;〔2〕过O,C,D三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO及PD之差的值最大?假设存在,请求出这个最大值和点P的坐标.假设不存在,请说明理由.4. 确定:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.〔1〕试干脆写出点D的坐标;〔2〕确定点B及点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.假设以O、P、Q为顶点的三角形及△DAO相像,试求出点P的坐标;〔3〕试问在〔2〕抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得的值最大?假设存在,那么求出点T点的坐标;假设不存在,那么说明理由.一. 归入“三角形两边之差小于第三边”1. 直线2x-y-4=0上有一点P,它及两定点A〔4,-1〕、B〔3,4〕的距离之差最大,那么P点的坐标是 .2.确定A、B两个村庄的坐标分别为〔2,2〕,〔7,4〕,一辆汽车〔看成点P〕在x轴上行驶.试确定以下状况下汽车〔点P〕的位置:〔1〕求直线AB的解析式,且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大?〔2〕汽车行驶到什么点时,到A、B两村距离相等?好题赏析:原型:确定:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.例题:如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD〔不含B点〕上随意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.〔1〕求证:△AMB≌△ENB;〔2〕①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;〔3〕当AM+BM+CM的最小值为+1时,求正方形的边长.变式:如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD〔不含B点〕上随意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、C。

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