高中物理奥赛解题方法六.递推法(20211118120044).pdf

六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式塞题精析例 1：质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻 2t ，加速度变为3a ； ；在 nt 时刻，加速度变为(n + 1) a ，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程解析 ：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解1）物质在某时刻t 末的速度为vt = at 2t 末的速度为v2t = vt + 2at 即 v2t = at + 2at 3t 末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at 则 nt 末的速度为vnt = v(n)t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n) = at12(n + 1)n =12n (n + 1)at （2）同理：可推得nt 内通过的总路程s =112n (n + 1)(2n + 1)at2例 2：小球从高h0= 180m 处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小1n（n = 2） ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。

g取 10m/s2）解析： 小球从 h0高处落地时，速率v0 =02gh = 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率v1 =0v2第二次跳起时和又落地时的速率v2 =02v2第 m 次跳起时和又落地时的速率vm =0mv2每次跳起的高度依次为h1 =21v2g=02hn，h2 =22v2g=04hn，通过的总路程 s = h0 + 2h1 + 2h2 + + 2hm + 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -= h0 +022hn(1 +21n+41n+ +2m21n+ ) = h0 +022hn1= h022n1n1=53h0 = 300m 经过的总时间为 t = t0 + t1 + t2 + + tm + =0vg+12vg+ +m2vg+ =0vg1 + 21n+ + 2 (1n)m + =0vgn1n 1=03vg=18s 例 3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕 B 犬， B 犬想追捕 C 犬， C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析 ：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61 所示。

所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解设经时间 t 可捕捉猎物，再把t 分为 n 个微小时间间隔 t ，在每一个t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔 t ，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、an，显然当 an0 时三只猎犬相遇a1 = aAA1BB1cos60= a32v t a2 = a132v t = a232v t a3 = a232v t = a332v t an = an32v t 因为 an32v t = 0 ，即 n t = t 所以： t =2a3v（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解例 4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析： 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。

原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则有：车头起动时，有：(F mg) s =12m21v拉第一节车厢时：(m + m)1v= mv1故有：21v=1421v=12(Fm g) s (F2 mg) s =12 2m22v12 2m21v拉第二节车厢时：(m + 2m)2v= 2mv2故同样可得：2v=4922v=23(Fm53 g) s 推理可得：2nv=nn1(Fm2n13 g) s 由2nv0 可得： F2n13 mg 另由题意知F = 31 mg ，得： n46 因此该车头倒退起动时，能起动45 节相同质量的车厢例 5 有 n 块质量均为m ，厚度为d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图62 所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算将第 2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2 = mgd 将第 3 、4 、 、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3 = mg2d W4 = mg3d W5 = mg4d Wn = mg (n 1)d 所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n1)d n ( n1)2mgd 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 6：如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i = 2 、4 、）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量） 。

将质量为m 的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对 A6B6的压力解析 ： 本题共有六个物体， 通过观察会发现， A1B1、A2B2、 A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、 A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图63甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有：NiL = Ni+1L2，得： Ni =12Ni+1所以： N1 =12N2 =1212N3 = = (12)5N6再以 A6B6为研究对象，受力情况如图63 乙所示， A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力N6、 碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg 选 B6点为轴，根据力矩平衡有：N1L2+ mg3L4= N6L 由、联立，解得：N1 =mg42所以， A1B1薄片对 A6B6的压力为mg42例 7：用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L ，横截面是边长为h（h =L4）的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。

解析 ：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值将从上到下的积木块依次计为1 、2 、 、 n ，显然第1 块相对第2 块的最大伸出量为： x1 =L2第 2 块相对第3 块的最大伸出量为 x2（如图 64所示），则：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -G x2 = (L2 x2) G 得：x2 =L4=L22同理可得第3 块的最大伸出量： x3 =L2 3最后归纳得出： xn =L2n所以总跨度：k = 29nn 1x= 11.32h 跨度与桥孔高的比值为：kH=11.32h9h=1.258 例 8：如图 65 所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为 n （n = 1 、2 、 3 、 ） 。

每人只有一个沙袋，x0 一侧的每个沙袋质量为m = 14kg ，x0 一侧的每个沙袋质量m= 10kg 一质量为 M = 48kg 的小车以某初速度v0从原点出发向正 x 轴方向滑行不计轨道阻力当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍 （n 是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析： 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动， 则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔小车以初速v0沿正 x 轴方向运动，经过第1 个（n = 1）人的身旁时，此人将沙袋以u = 2nv0 = 2v0的水平速度扔到车上，由动量守恒得：Mv0 m 2v0 = (M + m)v1，当小车运动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度u= 2nv1 = 4v1的水平速度扔到车上，同理有：(M + m)v1m 2nv1 = (M + 2m)v2，所以，当第n 个沙袋抛上车后的车速为vn，根据动量守恒有：M + (n 1)mvn12n m vn1 = (M + nm)vn，即： vn =M(n1)mMnmvn1。

同理有： vn+1 =M(n2)mM(n1)mvn若抛上（ n + 1）包沙袋后车反向运动，则应有vn0 ，vn+10 即： M(n + 1)m 0 ，M(n + 2)m0 由此两式解得：n3814，n2014因 n 为整数，故取3 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n 个人身旁，抛上第n 包沙袋后由动量守恒定律有：M + 3m + (n 1)mn 1v2n mvn1 = (M + 3m + nm )nv解得：nv=M3m(n1)mM3mnmn 1v同理有：n 1v=M3m(。