10.1.2 复数的几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.复数z=1-4i的共轭复数是( )A.1+4i B.-4+i C.-1+4i D.-1-4i解析复数z=1-4i的共轭复数是z=1+4i.故选A.答案A2.复数z=3+i3对应的点在复平面第几象限( )A.一 B.二 C.三 D.四解析由i2=-1,z=3-i,对应点坐标为(3,-1).答案D3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是( )A.直线 B.线段C.圆 D.单位圆以及圆内的部分解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆及其内部,故选D.答案D4.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为( )A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2i解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量OB对应的复数为-2+i.答案B5.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是( )A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称解析在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称.答案B6.当230,m-1<0,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.答案D7.已知复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复平面内的点z的轨迹是( )A.实轴 B.虚轴C.原点 D.虚轴除去原点解析a=0时,z=bi,复平面内的点z的轨迹是虚轴.答案B8.已知复数z=x-2+yi的模是22,则点(x,y)的轨迹方程是 . 解析由模的计算公式得(x-2)2+y2=22,∴(x-2)2+y2=8.答案(x-2)2+y2=89.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 . 解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.答案510.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= . 解析∵z1=2-3i,∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3).∴z2=-2+3i.答案-2+3i11.设z=(1+i)sin θ-(1+icos θ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tan θ的值为 ,若θ∈0,π2,则z= . 解析由题意,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,∴tanθ=12.若θ∈(0,π2),则sinθ=55,cosθ=255,则z=(1+i)55-(1+255i)=55-1-55i.答案12 55-1-55i12.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),所以a=(-3,0),b=-12,m.又a,b的夹角为60°,所以cos60°=(-3,0)·-12,m(-3)2+02·-122+m2,即12=32314+m2,解得m=±32.能力提升1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i解析A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.答案C2.已知0π2,即A>π2-B,sinA>cosB.cosB-tanA=cosB-sinAcosA0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故选B.答案B6.已知复数z1=cos x+2f(x)i,z2=(3sin x+cos x)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为( )A.-14 B.14 C.-12 D.12解析由题意,Z1(cosx,2f(x)),Z2(3sinx+cosx,1),∴∠Z1OZ2=90°,∴3sinxcosx+cos2x+2f(x)=0,即2f(x)=-32sin2x-1+cos2x2=-32sin2x-12cos2x-12,∴f(x)=-12sin2x+π6-14,则函数f(x)的最大值为14.故选B.答案B7.复平面内长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C所对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,则D点对应的复数为 . 解析由题意可知A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),设D(x,y),则AD=BC,即(x-2,y-3)=(-5,-5),解得x=-3,y=-2.故D点对应的复数为-3-2i.答案-3-2i8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的值是 . 解析由复数的几何意义可知,OC=xOA+yOB,即(3,-2)=x(-1,2)+y(1,1),∴y-x=3,2x-y=-2,解得x=1,y=4.∴x+y=5.答案59.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.解∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),又|-1+i|=2,由|z-1|=|-1+i|,得a2+1=2,解得a=±1.∴z=±i.10.已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点),OZ与实轴正向的夹角为120°,OZ终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.解根据题意可画图形如图所示:设点Z的坐标为(a,b),a<0,b>0.∵|OZ|=|z|=2,∠xOZ=120°,∴a=-1,b=3,即点Z的坐标为(-1,3),∴z=-1+3i.7。
