初中升高中暑假预习讲义《7.对数函数及应用》教学案.doc

7.对数函数的图象与性质一．知识回顾1.对数的运算：(1).________. (2).________. (3)=________.2.对数函数的图象与性质:图象[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网ZXXK][来源:Z*xx*k.Com][来源:学科网]性质定义域：__________值域：__________性质在上是__________在上是__________过定点，即时，反函数：如果两个函数图象关于直线对称，我们则称这两个函数互为反函数．例如函数与函数就是互为反函数．二．专题研究1.定义域问题例1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【详解】由已知，，，  .故选：C.2.对数函数的基本性质例2．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【详解】当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即；若函数的值域是，则需当时，．当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，在上单调递减，此时，即，则，所以，显然，解得，又，所以．综上所述，实数的取值范围是．故选：B例3．设且，若函数的值域是，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【详解】由于函数且的值域是，当时，满足.若在它的定义域上单调递增，当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.综上可得，.故选：C.第二节：对数函数图象变换及应用一． 知识回顾1.平移变换：2.对称变换：(1).函数与函数的图像关于_______对称；(2).函数与函数的图像关于_______对称；(3).函数与函数的图像关于_______对称.3.翻折变换：(1).(2).二．专题研究例1．已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ）A． B．2 C．1 D．【详解】函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，.故选：B.例2．在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ）A． B．C． D．【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，又时，，A正确，B错误；对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.故选：A.例3．已知，，，则a，b，c大小为（    ）A． B．C． D．【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，   由图象可知，.故选：D.例4．已知函数，，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【详解】由题知，显然，则，即，则，则，，即，解得，，设，，令，解得，根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减，故其值域为.故选：C.例5．设数，若有四个实数根，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【详解】作出函数的图象如图所示，由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，，，，且，由图可知，点，关于直线x＝5对称，则，由图可知， ，，由可得，所以 ，则有，所以，，令，在上为减函数，且， ，故，故选：A例6.已知函数(1).写出函数的单调区间； (2).讨论方程根的情况.第三节：对数型函数与综合应用一． 知识回顾回顾指数型函数的复合方法及性质的研究方法.二．专题研究例1．函数的单调递增区间为（    ）A． B．C．和 D．和【详解】对于函数，令，解得且，所以函数的定义域为，又函数，所以在，上单调递增，在，上单调递减，又函数在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和.故选：C例2．设全集，集合，集合，其中．(1)当时，求；(2)若“”是“”的______条件，求实数的取值范围．从①充分；②必要；③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空，并解答该题．【详解】（1）当时，，又，所以，故.（2）选①：因为“”是“”的充分条件，，，所以，则，解得，所以实数的取值范围是．选②：由区间定义可知，所以，则，因为“”是“”的必要条件，，，所以，则，解得，故，所以实数的取值范围是． 选③，因为“”是“”的既不充分也不必要条件，所以不是的子集，且不是的子集，若，则，解得，故；若，由区间定义可知，所以，则，又，解得，故；由于上述两种情况皆不满足，所以，即实数的取值范围是．例3．已知函数（且）在上的最大值为3.(1)求的值；(2)假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.【详解】（1）当时，函数（且）在上单调递减，∴，解得；当时，函数（且）在上单调递增，∴，解得，综上所述，或（2）∵的定义域是，∴恒成立，则方程的判别式，即，解得又或，因此，∴不等式，即，即，解得因此不等式的解集为.例4．已知函数，，(1)求的取值范围；(2)求的值域.【详解】（1）因为在上是增函数，所以；（2）令，则，因为在区间上单调递减，在上单调递增，，，，所以 ，即的值域为.例5．已知函数为奇函数.(1)求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；(2)求关于的不等式的解集.【详解】（1）因为的定义域是且是奇函数，可得，可得，函数在上是增函数，证明如下：任取，且，则，因为为增函数，且，所以，所以，所以，即，所以在上是增函数.（2）由（1）知在上是增函数，且，则不等式，即为，可得，即，解得或，所以不等式的解集为或.例6．已知函数，其中且.(1)判断的奇偶性；(2)若，解关于x的不等式.【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数；（2）当时，由可得，所以，故，故不等式的解集为．例7．已知函数，且）．(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；(2)已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．【详解】（1）解：因为函数，且）的图象与函数的图象关于直线对称，所以（，且），因为点在函数的图象上，所以，解得，或（舍去）；（2）， ．令．①当时，由，有，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去）；②当时，由，有，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去），综上，实数的值为或2．。