2022年第八讲___三共定理之共边定理.docx

第八讲 “三共定理”——共边定理【学习目标】. 通过探究共边定理,并进一步把握运用共高定理求面积比.. 懂得共边定理.. 进一步应用共边定懂得决与面积比,线段比的问题,提高解决问题才能.新知 探究共边定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载问题回忆： 在上一讲中, 我们留下了一道习题： 如图 AB，PQ 相交于 M .求证：S APQ AM可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S BPQ BM在这道题目中, Δ APQ 和Δ BPQ没有共同的高,你能求它们的面积比吗？假如不能, 我们先放一放,先观看下面四组图形：它们有什么共同的特点？在上面四组图中：它们都有一条公共边 AB 的两个三角形,这样的两个三角形叫做 共边三角形.【摸索】： 假如过共边三角形Δ ABM，Δ ABN 的顶点 M，N 作直线,与公共边相交于点 P,那可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载么共边三角形的面积比与PM 有何关系？如下图：PN可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载通过猜想,可以把这个事实概括为一个重要的结论： 共边定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载共边定理 ：如两直线 AB，MN相交于点 P,就有S ABM MPS ABN NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载我们如何来证明这个定理呢？【分析】 我们以第一种情形来加以证明.如图：方法 1： Δ ABM，Δ ABN 虽有公共的边 AB,但没有公共的高, 不能直接应用共高定理. 但是图中显现很多的三角形中, 显现了一条共高三角形的关系链：Δ ABM—Δ BPM—Δ BPN—Δ ABN.在这些三角弄散中,前者与相邻的后者是两个共高三角形.如下图：证明： 由已知,依据共高定理分别可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM AB①S BPM PBS BPM MP②S BPN NPS BPN PB③S ABN AB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载把① ， ② ，③ 三式左右两边分别相乘,可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABMS BPMS BPMS BPNS BPNS ABNAB MP PB MP PB NP AB NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM即S ABNAB MP PB MP PB NP AB NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM MP∴S ABN NP方法 2：这种方法表达更简洁,学习程度较好的同学可以阅读参考.证明： 由共高定理可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABMS ABNS ABMS BPMS BPMS BPNS BPNS ABNAB MP PB MP PB NP AB NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM MP即：S ABN NP方法 3：证明： 如图,延长 PB 至点 Q,使 PQ=AB,连接 MQ， NQ.由共高定理可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM SPQM . SABN SPQN .S PQM MPS PQN NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S ABMS PQM MP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABNS PQN NP可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABM MP即S ABN NP想一想： 其它三种情形的共边三角形,你能否用上述三种方法一一证明？试试看。

实践练习 1】如下图,依据给的条件填空：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABE①S ABCS ABD. ② .S BDC可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载S ABE③S BDES ABD AE.④ ⑤ .S DEC FE可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【实践练习 2】如下图, AB∥ CD,AC，BD 相交于点 O,且 AB=5,CD=3.求AO 的值是多少？CO可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【学问应用探究】题型 I 共边定理的应用【例 1】如图,已知四边形 ABCD中, AD∥ BC,对角线 AC，BD 相交于点 O.AO DO求证：OC OB方法一： 利用共高定理可证证明： ∵ AD∥ BC,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S ABC SBDC （共高定理）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S ABCS BOCS BDCS BOC 即 SAOB SDOC可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载又∵ SSAOD DOCAO .OCS AODS AOBDO （共高定理）OB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载AO DO∴OC OB方法二： 利用共边定理可证证明： ∵ AD∥ BC,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S ABD SADC, S ABC SBDC （共高定理）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载又∵ S ABDS BDCAO S.OC SADC ABCDO（共边定理）OB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载AO DO∴OC OB留意： 此题仍可以用今后学习的相像形进行证明【例 2】如图,在Δ ABC中,点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点, BE，CD 相交于点 O,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载DO求证：OC1 EO 1,2 BO 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载证明： 连接 DE可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∵ ADDB AEEC （已知）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 AD∴ S BDEDB 1 AB21S ABE S2AEABEEC S BCE1 AC2（共高定理）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S BDE1 SS BCE 即2 SBDE 1BCE 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载又∵Δ BDE和Δ BCE有公共边 BE可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S BDES BCEDO 1 即 DOOC 2 OCEO 11（共边定理）2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载同理可得：BO 2说明：此题同样仍可以用今后学习的共角定理，正弦定理，相像形进行证明,【重要结论】1，连接三角形顶点和对边中点的线段叫三角形的中线,三角形三条中线交于一点,这个交点叫做三角形的重心.2，三角形重心定理： 三角形的重心分每一条中线为一比二的两部分.3，如图,在 △ ABC中, O 是中线 BE，CD 的交点.就点 O 是△ ABC的重心DO 1 EO 1那么 , ．OC 2 BO 2【例 3】如图, AB∥ PQ,直线 PA 和 QB 交于点 R, PB 和 QA 交于点 S, RS和 PQ 交于点 M , 如已知 PQ=10,求 PM 等于多少？解： ∵ AB∥ PQ可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ S PAB SQAB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载由共边定理可得：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载PM SPRSS PRS . SPSQRB . PAS RAB. S PAB 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载MQ S QRSS PSQS QRSBQ ARS QABS RAB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∴ PM MQPQ 52可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载别以为这个题目简洁哦,它可曾是一道数学竞赛题呢。

你阅读后有什么收成和启示？【同步提升训练】基础训练1，找找看,下图中有几对共边三角形呢？2，已知如图, AB∥ DC, AB=4, CD=8,梯形 ABCD 的面积为 36,求：Δ ABE，Δ BCE，Δ CDE，Δ DAE的面积.综合演练3，已知△ ABC是等腰三角形, D，E 分别是腰 AB及 AC的延长线上一点,且 BD=CE,连 DE交 BC于点 F. 求证： DF=EF留意：此题既可以用共角定理和共边定理证明, 又可以应用在将来的学习中的全等三角形，中位线，正弦定理等方法来进行证明 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载。