【教学课件】第3章角动量理论.ppt

第3章 角动量理论 本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是必须的；散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方面的考虑角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数 3.1 转动及角动量的对易关系一、有限转动n绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：二、转动的数学描述转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：正交矩阵：RRT=RTR=1(T表示矩阵的转置）如绕Z轴转角的矩阵为：转动不改变矢量的长度：三、无穷小转动n由：n得：（若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）n或：四、量子力学中的无穷小转动 1）态矢的变化：R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定2）转动算符的构造n参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 所表征的 轴转d的转动算符：n这里厄米算符Jk为角动量算符上式可看作量子动力学中角动量算符的定义该定义比经典的角动量（XxP）定义更普适，适用于自旋等。

五、有限转动n有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：六、转动算符的性质假定nD(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：七、角动量算符的对易关系n对应于n有：n得对易关系：n综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易关系：n该式归纳了三维转动的所有基本性质n由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群3.2 自旋1/2体系和有限转动 一、自旋1/2体系的转动算符n能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2.n电子的自旋算符：n容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实二、转动对自旋角动量的影响n考虑绕Z转，态的变化为：n物理量如Sx的测量结果变为：n需要计算n上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：n由于该推导只利用了角动量的对易关系，适用于角动量高于1/2的体系n即对自旋1/2体系有：n类似可得：n以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转了角n即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：nRkl是对应于给定转动的33正交矩阵R的矩阵元n由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。

对一般的角动量算符Jk也有:n以后会知道该结果可适用于任意矢量算符n矢量图像有利于对角动量的简明理解三、转动2的结果n对n有：n即n需转4才能使态矢复原（复原只需转2）n这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的四、自旋进动 n基于该H的时间演化算符为 n若将t看作，则u(t,0)与转动算符相同由此容易理解该H导致自旋进动自旋期待值随时间变化为n运动周期为T=2/.n态矢的“进动”周期则为 4/,为自旋进动周期的2倍五、2转动的中子干涉测量研究n要观测到态矢转2后的负号，需将转动前后的态矢进行比较n如图所示，n当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为T/2,T为经过有场区的时间,为自旋进动频率n干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(T/2).n产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度):n实验结果证实了量子力学预言的正确性六、自旋态的二分量形式 n对自旋体系，取n则n上述|的列矩阵被称为二分量旋量，记为n相应地：七、Pauli矩阵基本性质取则七、Pauli矩阵（续）(a的分量为实数八、二分量表述形式中的转动算符n转动算符：n矩阵表示 据 有n得 八、二分量表述形式中的转动算符（续）n转动作用下：n由矩阵表示知 (即任何态矢|经2转动都相应变为-|）九、的本征值为1的本征态 n相当于：（可直接求解）n下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念n设n的方位角为的方位角为,与z轴夹角.将自旋向上态绕y轴旋转,再绕z轴旋转,则所得态矢对应于沿n的自旋向上态.可见，该本征态对应先用exp(-i2/2)作用于 ，再用exp(-i3/2)作用的结果即：与直接求法结果一致。

作业n3.1、3.2、3.3。