《导数的概念、几何意义及其运算》.docx
8页
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式C'0(C为常数);(xn)'nxn1,nN；cosx;(cosx)sinx;(ex)e、；1八、’1,-;(logx)—log°exax[u(x)v(x)]u(x)',、，、，、'，、u(x)v(x)u(x)v(x)[u(x)]'l£(x)v(x)疝一(一)基础知识回顾：1.导数的定义：函数yyf(x0x)lim翌limx0xxox/f(x°x)f(x)xxo,即f(x0)lxm0x如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/,即f,(x)=f(xx)f(x)limx0x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；xx°，就是导函数f/(x)在x0处的函数值，即(sinx)(lnx)法则1:[u(x)v(x)]法则3：v2(x)v(x)法则'u(x)v(x)(v(x)2:0)(ax)axlna；f(x)在x0处的瞬时变化率f(x)/称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yf(x)在x°处的导数y/f,(x°)。
2.由导数的定义求函数yff(xx)f(x);(2).求平均变化率—f(x)的导数的一般方法是：(1).求函数的改变量3.导数的几何意义:线的斜率基础练习:1.曲线y函数yA.3002.设曲线A.1f(xx)f(x);x(3).取极限，得导数求函数/yxx0f(x)在x0处的导数是曲线yf(x)上点(x0,f(x0))处的切2x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(B.45°C.60°D.120°ax2在点(1,a)处的切线与直线2xy60平行，则aD.3.设P为曲线C:yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,—，则点P横坐标的取值范围为()4A.1,B.1,0C.01D.4.直线yb是曲线ylnxx0的一条切线，则实数b=5.设曲线A.26.曲线yA.9e247.曲线yA.19B.1,—在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a112C.1D.22(A)2xex在点(2,13-x31,0)e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(2e2x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(作抛物线y1的切线，则其中一条切线为(B)3xy30(C)xy10(D)xS=2t3运动，则在t=2秒时的瞬时速度为(C)16(D)2410、(2005重庆理科)曲线yx3在点(a,a3)(a0)处的切线与的三角形的面积为1,则a=611、(2008北京理)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中&yB,C的坐标分别为(0,4)(20)(64)，则f(f(0))limf(1x)f⑴x09、如果质点A(A)6按规律(B)8x轴、直线xa所围成4321\Z/v/B7A123456x12经过原点且与曲线y=lnx相切的直线的方程是13(2008海南、宁夏文)设函数f(x)axb,曲线yf(x)在点(2f(2))处的切线方程为7x4y120。
1)求yf(x)的解析式;导数的概念、几何意义及其运算答案1.B2.A3.A4.ln2—15.D6.D7.(A)8.解：y2x1,设切点坐标为(x°，y°)，则切线的斜率为2x°1,且yox<2%12于是切线万程为yxoxo1(2xo1)(xx°),因为点(一1,0)在切线上，可解得xo=0或—4,代入可验正D正确选D9、D;1O_1_;112,-2;12y13、解：(I)方程7x4y120可化为y7x3.当x2时，y1.42又f(x)a于是2a解得1,3.函数的单调性、极值、最值与导数1、函数单调性的充分条件：函数yf(x)在某个区间(a,b)内可导，若f(x)0，则函数yf(x)在(a,b)内单调递增；若f(x)0，则在(a,b)内单调递减.2、函数单调性的必要条件：函数yf(x)在某个区间(a,b)内可导，若yf(x)在(a,b)内单调递增，贝Uf(x)0；若在(a,b)内单调递减，则f(x)0.3、函数单调区间的求法：(注意单调区间的表达)首先，确定函数yf(x)的定义域；其次，求f(x)；最后，在定义域中解不等式f(x)0得增区间，解不等式f(x)0得减区间.1、极值的概念：设函数yf(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)fx0(f(x)fx0),我们就说fx0是函数f(x)的一个极大(小)值，记作y极大值fx(y极小值fx°),把x°点叫做函数的极大(小)值点.特别地，若函数yf(x)可导，fx00,而且在点xx0附近的左侧fx0fx0,右侧fx0fx0,则称fx0是函数f(x)的一个极大(小)值.2、求可导函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数fx；③解方程fx0；④当fx00时，(1)如果在x°附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值；(2)如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极小值.3、”fx00”是”x0是函数极值点.”的必要不充分条件.4、函数最值的概念：函数yf(x)在a,b上所有点处最大(小)的函数值，称为yf(x)的最大(小)值.5、函数最值的判断:①求函数yf(x)在区间a,b内的极值；②将f(x)的各极值与端点处的函数值fa、fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值^6、极值与最值的区别与联系：(1) 函数极值是局部性质，最值是整体性质；(2) 函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个，但极值可能不止一个，也可能不存在;(3) 当函数在某区间上的图像连续，并有且仅有一个极值时，该极值必为函数的最值.(D)(2基础练习：1.(2008)设aR,若函数yxeax,xR有大于零的极值点，贝U()A.a1B.a1C.a1D.1a-ee2.(2008福建文)如果函数yf(x)的图像如右图，那么导函数yf,(x)的图像可能是()(A)(一，—)(B)(,2)(C)(—，—)2222的单调递增区间是x312x8在区间［3,3］上的最大值与最小值分别为(2007广东文)函数f(x)=xlnx(x>0)(2007江苏)已知函数f(x)6、已知函数f(x)M,m，贝UMm.x33x29xa.(i)求f(x)的单调减区间;(n)若f(x)在区间［—2,2］.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值7、已知函数f(x)x3ax2bxc在x—与x1时都取得极值.3(1) 求a,b的值及函数f(x)的单调区间；(2) 若对x[1,2],不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.328.(2008北与又)已知函数f(x)xax3bxc(b0),且g(x)f(x)2是奇函数.(l)求a,c的值；(n)求函数f(x)的单调区间.9.(2004浙江文)已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(I)求导数f(x);(n)若f(1)0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值；(m)若f(x)在(-8,-2］和［2,+8)上都是递增的，求a的取值范围。
10.(2005全国卷II文科)设a为实数，函数(II)当a在什么范围内取值时，曲线y一、32f(x)xxxa.(I)求f(x)的极值;f(x)与x轴仅有一个交点.函数的单调性、极值、最值与导数(答案)1.A;2.A;3.B;4.；5.326、解：(I)f(x)3x26x9.f(x)0,解得x1或x3,所以函数f(x)的单调递减区间为,1),(3,).(II)因为f(2)81218aa,f(2)81218a22a,所以f(2)f(2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在［—1,2］上单调递增，又由于f(x)在［—2,—1］上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间［—2,2］上的最大值和最小值.于是有22a20,解得a2.故f(x)x33x29x2.因此f(1)13927,即函数f(x)在区间［—2,2］上的最小值为一7.7、解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f，、・2—.(x)=3x+2ax+b由f(-2)=12-纭+b=0,f393，.、一一.…1.一(1)=3+2a+b=0碍a=一—,b=—22f(x)=3x2—x—2=(3x+2)(x一1)，函数f(x)的单调区间如下表：x,2、32——3(--,1)31(1,+)f(x)+0一0+f(x)：极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(一，一2)与(1,+)。
递减区间是(一-,1)33(2)f(x)=x3-1x2-2x+c,x〔一1,2〕，当x=—-时，f(x)=羹+c2327为极大值，而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值要使f(x)c2(x〔—1,2〕)恒成立，只需c2f(2)=2+c解得c-1或c28.解：(I)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x€R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.aa,所以22解得a=0,c=2.(口)由(I)得f(x)=x3+3bx+2.所以f'(x)=3x2+3b(b乒0).当bv0时，由f'(x)=0得x=土―b.x变化时，f'(x)的变化情况如下表：x(-oo，-Jb)-Jb(-Jb,Jb)j(Jb，+8)f'(x)+0-0+所以，当bv0时，函数f(x)在(-8,-LT)上单调递增，在(-b^,J~b)上单调递减，在(vb,+8)上单调递增.当b>0时，f'(x)>0所以函数f(x)在(-8,+8)上单调递增.9.解:(I)由原式得f(x)x3ax24x4a,.•f(x)3x22ax4.1)0得a1,此时有f(x)(x24)(x1),f(x)3x2224.0碍x—或x=-1,350,f(1)9,f(2)0,f(2)0,272950所以f(x)在[--2,2]上的最大值为-,最小值为——.2―(m)解法一:f(x)3x22ax(n)由f(由f(1)4又f(a)f(2)0,f(2)0,即274的图象为开口向上且过点4a84a0••--2
