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第二章 小波多尺度图像融合2.1 小波理论简介 由数学家、物理学家及工程师们多学科共同努力研究而形成的小波理论，由于它有着严谨的数学推导和具体的物理意义，使得它的应用在工程上随时可见，而且它的发展也日异月新从最开始的傅里叶王国处理一维信号，到窗日傅里叶变换再到小波框架与小波基，再到小波包，同时直接由张量积扩展得到的二维小波变换以及考虑方向性的超小波等等它们的应用范围越来越广其家族成员越来越多，当然其理论发展越来越复杂 小波分析的目的是检测、表示、处理某些高维空间数据，用以对某个信号及函数给出丰富的、有效的和有用的描述也就是说，单纯从数学意义主看，小波理论只是找到了空间上信号最优表示的一组基由不同的基逼近信号所产生的误差是一个重要的衡量标准，同时也暗示着我们如何去寻找与改进得到更好的逼近 按体系结构来划分整个小波家族，大略可以分为一代小波，二二代小波与三代小波（又称超小波）各代所包含的内容从发展顺序与理解层次来看大致如下：一代小波：(1)小波基本概念；(2)多分辨率分析；(3)连续小波变换；(4)二进小波变换（非抽取小波变换、平稳小波变换）与多孔算法；(5)离散小波变换写Mallat算法；(6)小波模极大值；(7)完美重构与滤波器组；(8)双正交小波与半正交小波；(9)类小波、小波包与自适应小波包；(10)小波的时域和频域构造；二代小波：(1)多小波；(2)复小波；(3)框架小波；(4)提升法；(5) 一代小波；(6)二代插值（均值、细分）；(7)第二代自适应小波；三代小波：(1)Wedgelet; (2) Beamlet; (3) Ridgelet;(4)Curvelet;(5)Contourlet; (6)Bandelet; (7) Shearlet; (8) Platelet; (9)方向性滤波器组与完美重构；(10)多尺度几何分析；(11)小波与X-Let; 由于小波理论主要综合了多分辨理论与滤波器组的构造理论及框架理论。

它们的数学推导严谨而复杂晟种类不断的推陈出新在此，本文进行简要概述 理论上讲，小波展开或者小波交换，与信号系统里面的傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换一样，只不过小波变换不是一组变换对应一组基，而是有很多种特别是，其他变换的计算都是将基函数与信号做点积，小波变换在基函数的解析式已知时可以这样计算，但是在大多情况下小波解析式是未知的这就要运用信号处理的多速率采样来实现，可以这样认为，小波变换是一种多速率处理：下采样结合相关运算形成正变换，上采样结合卷积形成逆变换 虽然小波展开集不是唯一的，存在很多不同的有效的小波系统，但是，他们具有以下的特征 1、小波系统是构造或表示一个信号或者函数的：二维展开集合，也就是基 2、小波展开是信号的时频局部化也就是说它能用少数展开系数aj,k表示信号的大部分能量 3、存在快速算法可高效计算系数也就是说与快速傅里叶变换一样，只需O(Nlog(N))次运算 4、几乎所有有用的小波系统满足多分辨条件实际是指一个信号的集合能用 表示，那么也可以用一个更大的集合 (它包括原集合)进行加权表示 5、低分辨率系数可以由高分辨系数用一个滤波器组的树结构算法计算得到。

这使得展开系数或者离散小波变换得到有效的计算，同时把数字信号处理领域联系起来 6、第一代小波系统是由一个单尺度函数或者小波通过简单的尺度化和平移得到 实际上，小波变换像一个音乐乐谱，其时，音符的位置确定了音调和它们的频率其有效性原因可以大致概括如下： 1、小渡系统为一组无约束基对一大类信号，它们的小波展开系数aj,k的大小，随着j,k的增大，迅速减小在图像压缩、去噪和检测方面，由于它的接近最优性而非常有效 2、小波展开可以允许在时间和频率主交迭的信号分量分离，对信号的特征进行了更精确的局部描述和分离 3、小波是可调的和可修改的，可以将它们设计成合适的各种应用，这个系统本身可调整以适合信号，并非像傅里叶变换那样，其基是固定的 4、小波的产生和离散小波交换的计算没有涉及到微积分，只有乘法和加法，这种数字计算机的基本运算使得它快速推广到工程实用上 从数学主讲，信号的本质信息可以在其奇异性或非正则结构上反映出来而小波分析能对信号进行精确的奇异性分析，所以能提取或分析这些重要的信息同时，Mallat已经证明信号的局部正则性可以由小波变换幅值随尺度参数的衰减性来刻画，奇异性和边缘可以通过跟踪其细尺度下的局部极大模来检测。

信号的最小全局正则性可以用傅里叶交换的渐进衰减性进行有力的度量，但不能从函数高频段的衰减性分析出函数在特定点处的正则性然而小波在时域的局部性可以给出函数在一个区间甚至一个点的Lipschitz正则性，奇异性可以通过寻找，使得小波模极大在细尺度下收敛的横坐标点来检测2.2 多尺度分析理论 小波变换中，其实具体还包含了一个尺度函数和小波函数的概念，基于理解小波中多尺度分析概念，本文从定义的尺度函数出发，再借助它定义小波函数首先，定义一个尺度函数集，该集有一个基本尺度函数经过整数平移得到 一般的，可以通过改变尺度函数的时间尺度来增大张成的子空间规模如：二维函数族可以通过基本尺度函数的尺度化和平移得到 小波的多尺度分析概念最早由S.Mallat与Y.Meyer于1986年提出，它提供了小波分解算法、了解与构造小波基甚至构造一些新的小波的一个很自然的架构 MRA分析出现以前，滤波器组与小波理论足没有融合到一起的，没有人注意到完全重构滤波器中的高通与低通滤波器的某种迭代竟是小波的构造和变换的快速实现方法，以至于小波和完全重构滤波器的构造走在两条不相干的路上最终由Mallat提出了多分辨分析，为小波的构造提供了统一框架，并提供了函数分解与重构的快速算法。

2.3 小波滤波器的构造 在数字滤波器理论中，经常涉及的概念有最小相位系统、线性相位、最小延迟以及完全重构滤波器组为了便于数字计算机的处理，一般使用有限冲击响应滤波器(FIR)，因为它的冲击响应持续时间是确定的也就是说，经过某个确定的时间以后，冲击响应将为零 由于全通滤波器要求其传递函数在整个频率域有相同的幅频响应结果推导出其有理传递函数中分子分母Z变换的多项式有相同的阶，其次它们的系数序列是互为逆序的系统的因果性和稳定性要求传递函数的极点位于单位圆内，零点也位于单位圆内则得到最小相位系统，它能表示传递函数相角范围最小，得出信号的输出有最小群延迟，系统响应速度是最快的从相位延迟的角度出发，传递函数的相位的系统称为线性相位系统，其对应物理意义为原信号x(t)被日(w)滤波后其时间延迟了k从线性系统来讲，分解的各频率的延迟时间是一个常数，在信号输出时直观上是完全不失真离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质表明一个对称的FIR滤波器具有线性相位 全通滤波器和线性相位滤波器似乎是不相容的因为全通滤波器有理传递函数要求分子分母必须为同阶，那么它一定具有无限冲击响应，即为无限冲击响应滤波器(IIR)。

而一个可实现的IIR不可能找到它的对称中点，所以必须为FIR然而用一组串联和并联排列的滤波器组却可以突现全通和相位当这两个条件同时满足，这样的滤波器组就称为完全重构滤波器组 结合多尺度分析理论，假设在某个尺度上对某信号进行下一级的分解时，用一个高通和一个低通来实现，从而推导尺度函数能完全重构所满足的关系这种结合多分辨理论的双通道滤波器组，其2分带分析组如图2-3所示2分带综合组如图2-4所示由完全重构的条件可以得出以下结论： 从应用角度来讲，是如何选择现有的小波基，而不是对它进行设计一般来讲，除了关注小波基的消失矩和正则性外，综合起来可以这样考虑： l、短小波比长小波在检测信号突变时更有效，因此检测信号中断点可采用Haar小波对称的小波可以避免图像处理中的相移 2、对于一个在j阶导数上的突变，应选择一个至少有j个过零点的规则小波 3、对奇异值的检测，选择的小波必须足够规则 4、压缩带有噪声的n阶多项式信号，需选择有n+1个过零点的小波 5、在去噪声方面，小波包比小波能更好的去除噪声并减少高频信息的损失 6、从信号中分离不同频率成分，与小波的尺度有关。

而对于二维数据的图像，其小波变换则可分离为两通道滤波器，先应用于某一维，再应用于另外一维即可在图像处理中经常用到的五种小波基如表2-1所示在历史主最简单的Harr小波因其连续牲太差得不到好的应用，Meyer试图证明光滑连续的小波不存在，却意外得到了具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩和平移构成了L2空间的标准正交基，紧随其后更多好的性质小波被设计出来但是小波变换的有限方向性和图像几何表达有限性等，随后引入超小波2.4 轮廓波及非下采样轮廓波2.4.1 超小波理论简介 在人的视觉系统中，视觉神经接受域的特征为局部性、方向性和带通性而晟实验验证了一个这样的假设：人类视觉系统是能调谐的，用最小数量的活动视觉细胞来捕捉自然景象中重要的信息结论意味着计算机视觉表示要有效，则应该基于局部的、方向性的与多尺度扩展的 综合色彩的推测与相关人类视觉系统的研究加上自然图像的统计，可以列出新的图像表示的期望特性： 1、多尺度性和局部性醺像表示能由粗到细的连续近似，表示的基能在空域和频域中局部化 2、临界采样性对于一些应用比如图像压缩，图像表示能构成一个基或者小冗余性的框架。

3、方向性图像表示能包含具有方向性的基的各种方向，而不是仅仅少量的几个类似离散小波的三个方向 4、各向异性为了充分利用图像的几何正则性，捕获图像的光滑轮廓，图像表示使用的基元素应该利用各种不同的长宽比的狭跃楔形 离散小波能满足以主两条，但最后两条需要新的构建，它并不能充分利用数据本身所特有的几何特征、并不是最优的或者是“最稀疏”的函数表示方法，没有充分利用特定函数类本身的信息，而达到最优逼近其表示具有一维奇异性的边缘、纹理、轮廓等方问信息时，其效果并不理想本质上，小波善于捕捉点状奇异性的零维信息，能最优或者最稀疏表示具有点奇异性的目标函数，但是具有一维奇异性的轮廓，小波基不是最优，挖掘不到图像的边缘方向信息 而且，主要的挑战是从定义在矩形网格采样图像得到的离散数据中捕获矧像的几何特性和方向性比如，除了水平和垂直方向外，能在一个矩形格子中它们方向看起来很不相同由于像素的原因，光滑轮廓在采样图像里面很不明显因此，人们开始在离散域构建形式然后研究它的收敛性再扩展到连续域中，而不像其他的变换，从连续域出发进而采样得到离散形式图像数据的一个重要特点是数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。

比如，对于二维图像，其主要特征可以用边缘所刻画，而在三维图像中，其重要的特征又体现为丝状物和管状物二维超小波变换应运而生基于现代调和分析的理论和方法，利用一系列高维“脊函数”的迭加实现高维奇异性的有效描述的Ridgelet变换，它特别适合二维图像的线奇异性的处理，能较好描述直线或者超平面奇异性的高维信号，比小波更好的稀疏表示图像的纹理特征Ridgelet作为基本逼近函数的高效性，使其在数学逼近、信号处理和统计估计等多方面有着很大的作用以它为开端从此开扇了第三代小波的大门其中，Contourlet变换与非下采样Contourlet变换有着广泛的应用2.4.2Contourler变换原理 200。